Треугольник. Равенство. Подобие.
Стр 1 из 3Следующая ⇒
Справочник по геометрии
Основные понятия:
Общие сведения: точка, луч, отрезок, середина, перпендикуляр к отрезку
Прямые - параллельные, перпендикулярные, пересекающиеся и непересекающиеся
Угол - острый, прямой, тупой, развернутый, внутренняя и внешняя область, смежные и вертикальные,
накрест лежащие, односторонние, соответственные
Окружность – центр, радиус, диаметр, хорда, дуга, полуокружность, сектор, вписанная и описанная, центральный угол, вписанный угол, круг
Подобие – коэффициент, пропорциональность
Симметрия – осевая, центральная
Многоугольники - вершина, сторона, угол, высота, биссектриса, диагональ, внутренняя область, внешняя, периметр, площадь
Параллелограмм - прямоугольник, квадрат, ромб
Трапеция – основание, боковая сторона, прямоугольная, равнобедренная, средняя линия
Треугольник – боковая сторона, основание, внешний угол, прямоугольный, остроугольный, тупоугольный, равносторонний, равнобедренный, медиана, биссектриса, средняя линия, высота, серединный перпендикуляр, гипотенуза, катет, синус, косинус, тангенс, котангенс
Справочник по геометрии
Окружность
| Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности. | ||
| Отрезок, соединяющий центр окружности с какой либо точкой окружности называется радиусом | ||
| Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину | ||
| Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой | ||
| Хорда, проходящая через центр окружности, называется ее диаметром | ||
| Диаметр окружности в два раза больше ее радиуса | ||
| Центр окружности является серединой любого диаметра | ||
| Любые две точки окружности делят ее на две части, каждая из этих частей называется дугой окружности | ||
| Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности | ||
Уравнение окружности на плоскости  
| ||
Число  =3,14, отношение длины окружности к ее диаметру
| ||
Длина окружности равна произведению ее радиуса на 2  , или диаметра на 
 или 
| ||
Длина дуги окружности 
| ||
Площадь круга 
| ||
| Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга | ||
Площадь кругового сектора 
|
Окружность и прямая
|
|
|
| Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки. | ||
| Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек. | ||
| Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. | ||
| Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. | ||
| Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. /Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. | ||
| Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки равны, и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности |
Справочник по геометрии
|
|
|
Окружность и угол
| Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом | ||
| Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ. Если же дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается 360 – угол АОВ | ||
| Дуга измеряется в градусах, равна градусной мере центрального угла | ||
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 
| ||
| Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. | ||
| Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую от опирается | ||
| Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны | ||
| Вписанный угол, опирающийся на полуокружность прямой | ||
| Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр | ||
| Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды |
Окружность и многоугольник
|
|
|
| Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник описанным около этой окружности. | ||
| В любой треугольник можно вписать окружность (только одну) | ||
| Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности | ||
| В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. /Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность | ||
| Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность | ||
| Около любого треугольника можно описать окружность (только одну) | ||
| В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180˚ /Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚, то в около него можно описать окружность | ||
| В любой ромб и квадрат можно вписать окружность | ||
| Около любого квадрата, прямоугольника и равнобедренной трапеции можно описать окружность | ||
| Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну | ||
| В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну | ||
| Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах | ||
| Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же треугольник | ||
| Площадь правильного n-угольника равна половине произведения периметра n-угольника на радиус вписанной окружности | ||
Угол правильного n-угольника равен  ,где R – радиус описанной окружности
| ||
Радиус вписанной окружности равен 
|
|
|
|
Справочник по геометрии
Угол
| Два угла, у которых одна сторона общая а две другие являются продолжением одна другой, называются смежными | ||
| Сумма смежных углов равна 180˚ | ||
| Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого | ||
| Вертикальные углы равны | ||
| Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой | ||
| Развернутый угол равен 180˚ | ||
| Биссектриса угла делит его на два равных угла | ||
| Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его концов /Геометрическим местом точек, лежащих внутри неразвернутого угла и равноудаленных от сторон угла, является биссектриса этого угла | ||
| Равные углы имеют равные градусные меры | ||
| Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны или в сумме составляют 180˚ Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны или в сумме составляют 180˚ |
Точки, отрезки, лучи
| Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка, соединяющего эти точки | ||
| Середина отрезка – точка, делящая его пополам | ||
| Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему. /Геометрическим местом точек плоскости, равноудаленным от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к этому отрезку. | ||
| Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов /Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему | ||
| На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один | ||
| От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один |
Прямые
| Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна | ||
| Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек | ||
| Если две прямые имеют общую точку, то они пересекаются. | ||
| Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой | ||
| Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один | ||
| Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки к прямой | ||
| Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла | ||
| Две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются | ||
| Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой |
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
| Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются (не имеют общих точек) | ||
| Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых | ||
| Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. /Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. | ||
| Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны /Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. | ||
| Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180˚, то прямые параллельны /Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180˚ | ||
| У параллельных прямых (если их пересекает третья) накрест лежащие и соответственные углы равны, сумма односторонних углов равна 180˚ | ||
| Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной | ||
| Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую | ||
| Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой | ||
| Все точки каждой из параллельных прямых равноудалены от другой прямой | ||
| Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми. Расстояние измеряется по перпендикуляру | ||
| Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой, параллельной данной. /Множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от нее, есть прямая, параллельная данной прямой. | ||
| Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки |
Справочник по геометрии
Треугольник. Элементы
| Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. | ||
| В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой. | ||
| В треугольнике против большей стороны лежит больший угол /В треугольнике против большего угла лежит большая сторона | ||
| Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон. | ||
| Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. Любой треугольник имеет три медианы | ||
| Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины | ||
| Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны называется биссектрисой треугольника. Любой треугольник имеет три высоты | ||
| Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке | ||
| Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника | ||
| Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону называется высотой треугольника. Любой треугольник имеет три высоты. | ||
| Все высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке | ||
| Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Любой треугольник имеет три средних линии | ||
| Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны | ||
| Серединным перпендикуляром треугольника является прямая проходящая через середину стороны треугольника и перпендикулярная к ней Любой треугольник имеет три серединных перпендикуляра | ||
| Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке | ||
| Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника | ||
| Внешний угол равен сумме двух углов, не смежных с ним |
Треугольник. Равенство. Подобие.
| Если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника | ||||||||||||||||||
| В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, /Против соответственно равных углов лежат равные стороны. | ||||||||||||||||||
| Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. | ||||||||||||||||||
| Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны | ||||||||||||||||||
| Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны | ||||||||||||||||||
| Равные треугольники: -По двум сторонам и углу между ними -По стороне и двум прилежащим к ней углам -по трем сторонам | ||||||||||||||||||
| Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника | ||||||||||||||||||
| Сходственные стороны – соответственные стороны, которые пропорциональны между собой | ||||||||||||||||||
| Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия | ||||||||||||||||||
| Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия | ||||||||||||||||||
| Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны | ||||||||||||||||||
| Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны | ||||||||||||||||||
| Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны | ||||||||||||||||||
| Два равносторонних треугольника всегда подобны между собой | ||||||||||||||||||
|
Справочник по геометрии
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 52; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!