Примеры задач из учебника Н.Б. Истоминой и М.И.Моро
За последние десятилетия для начальной школы созданы различные комплекты учебников по математике, в основе которых лежат разные математические и методические идеи.
Создание многочисленных учебников вызвано потребностью общества в подготовке подрастающего поколения, способного жить и работать в новых постоянно изменяющихся условиях.
Рассмотрим примеры задач из учебника Н.Б. Истоминой и М.И.Моро (таблица 1).
Таблица 1. Примеры задач из учебника Н.Б. Истоминой и М.И.Моро
| Н.Б. Истомина | М.И.Моро |
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Примеры из учебников Н.Б. Истомина и М.И. Моро направлены на изучение геометрических тем, на построение кривых линий, окружностей, отрезков[3].
Виды замечательных кривых
Рассмотрим следующие кривые.
1. Кривой Жордана называется образ непрерывного инъективного отображения окружности или отрезка в пространство. В случае окружности кривая называется замкнутой кривой Жордана, а в случае отрезка — жордановой дугой или простой дугой.
Следует отметить, что кривая Жордана является довольно сложным объектом, например, возможно построить плоскую кривую Жордана с ненулевой мерой Лебега.
2. Кривая Кантора. Более общее определение кривой для случая плоскости было дано Кантором в 1870-e годы.
Канторовой кривой называется компактное связное подмножество плоскости такое, что его дополнение всюду плотно.
Важный пример канторовой кривой доставляет ковёр Серпинского. Какова бы ни была канторова кривая L, она может быть вложена в ковёр Серпинского, то есть в ковре Серпинского содержится подмножество L', гомеоморфное L. Таким образом, ковёр Серпинского является универсальной плоской канторовой кривой.
|
|
|
3. Кривая Урысона.
Кривой Урысона называется связное компактное топологическое пространство Cтопологической размерности 1.
Ковёр Серпинского удовлетворяет этому определению, так что всякая канторова кривая является также и кривой Урысона. Обратно, если плоский связный компакт является кривой Урысона, то он будет канторовой кривой.
4. Улитка Паскаля- плоская кривая определённого типа. Названа по имени Этьена Паскаля, впервые рассмотревшего её. Уравнение в прямоугольных координатах: (x²+y²-ax)²=l²(x²+y²).
В полярных координатах: P=a cos φ + l
Свойства:
1. Улитка Паскаля является плоской алгебраической кривой 4-го порядка.
2. Улитка Паскаля является подерой окружности.
3. Улитка Паскаля является конхоидой окружности относительно точки на окружности.
4. Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала.
5. Улитка Паскаля является частным случаем эпитрохоиды.
6. Улитка Паскаля является примером эквихордной кривой.
|
|
|
7. Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода
8. Симметрична относительно оси ох.
5. Роза Гранди
Как-то раз итальянский геометрГвидо Гранди(1671-1742) создал розы. Розы радуют глаз правильными и плавными линиями, но их очертания не каприз природы - они предопределены специально подобранными математическими зависимостями. Семейство роз Гранди описывается уравнением в полярных координатах г=a sinк , где а и к - некоторые постоянные.
Свойства:
1. При к нечётном роза состоит из к лепестков, при к чётном — из 2к лепестков; при к рациональном лепестки частично покрывают друг друга.
2. При иррациональном значении к - роза имеет бесконечное число лепестков.
3. В уравнении r=asin(bk) значение a отвечает за длину лепестков, а значения b – за количество и форму.
6. Циклоида
Циклоидой именуют кривую, которая описывает точка окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой.
Название кривой дал Галилео Галилей, впервые обративший на нее внимание. Простота и изящество определения циклоиды привлекали к ней многих математиков XVII-XVIII вв. Ею занимались Паскаль, Лейбниц, Гюйгенс, Даниил Бернулли. Причем вначале циклоида сама была предметом пристального изучения, а впоследствии на ней проверялись мощные методы зарождающего математического анализа.
|
|
|
Уравнение циклоиды в декартовых координатах:
Свойства:
Касательная к циклоиде проходит через «верхнюю» точку производящего круга.
7. Спираль Архимеда.
Архимедова спираль – плоская кривая, описываемая точкой M, равномерно движущейся по прямой OA, в то время как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг одной из своих точек O. Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между витками.
Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре, и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов.
Безобидная воронка, образованной вытекающей из ванны водой; свирепый смерч, опустошающий все на своем пути; величественный круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик – все они имеют форму спиралей.
По спирали Архимеда идет, например звуковая дорожка. Одна из деталей швейной машинки – механизм для равномерного наматывания нити на шпульку – имеет форму спирали Архимеда.
Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике. Одно из изобретений ученого – винт (прообраз объемной спирали)- использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы из низколежащих водоемов. Винт Архимеда стал прообразом шнека – устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная его разновидность – винтовой ротор в обычной мясорубке.
|
|
|
8. Кривая Коха
В ХХ веке многие ученые осуществляли поиск кривых, которые ни в одной точке не имеют касательной. Все это говорит о том, что кривая изменяет свое направление с большой скоростью. В начале ХХ века очень быстро развивалась квантовая механика, поэтому интерес математиков очень возрос.
В то время ученый М. Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и описал как все это происходит. Поэтому ученые в дальнейшем заинтересовались движением такой частицы и непременно хотели найти кривую, которая бы подтвердила движение этой частицы. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую. Кривая Коха примечательна тем, что она непрерывна. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.
Свойства:
1. Она непрерывна.
2. Имеет бесконечную длину.
3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь.
На сторонах равностороннего треугольника можно построить снежинку Коха. В равностороннем треугольнике каждая сторона делится на три равные части и на средних отрезках сторон строятся наружу равносторонние треугольники. Потом для каждого из отрезков ломаной бесконечное число раз повторяют действие которое получилось на предыдущем шаге[4].
ГЛАВА 3. ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
Окружность - это замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки. Эта точка называется центром окружности. Отрезок, который соединяет центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом. Также радиусом называется и длина этого отрезка. Внутренность окружности называется кругом; в зависимости от подхода, круг может, включать граничные точки или не включать их.
Рисунок – Окружность
Круг - это множество всех точек плоскости, удалённых от данной точки не более, чем на длину данного отрезка.
Данная точка называется центром круга, а указанный отрезок — радиусом круга.
Круг с центром в точке O и радиусом R обозначают так: круг (O;R).
Радиус круга – это расстояние от его центра до окружности.
Хорда - это отрезок, соединяющий две любые точки окружности.
Диаметр - отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности, а также длина этого отрезка. D = 2R.
Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Он составляет половину диаметра.
, 
Рисунок – Круг
По программам Моро М.И. и Истоминой Н.Б. с понятиями окружность, круг знакомятся в 3 классе.
Знакомство с этими фигурами осуществляется на уровне представлений.
Ученики должны научиться узнавать круг и окружность; знать, что окружность — это линия, являющаяся границей круга; уметь строить с помощью циркуля окружность; знать, что такое радиус окружности (круга). Для решения этих учебных задач используются различные практические упражнения. При их подборе, выборе методов и приемов работы с ними необходимо учитывать те подходы к определению окружности и круга, которые имеют место в школьном курсе геометрии.
В школьной трактовке окружность определяется разными способами:
а) окружностью называется замкнутая кривая линия, все точки которой равноудалены от определенной точки, находящейся внутри замкнутой линии;
б) окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.
При знакомстве с окружностью в III классе лучше опираться на первое определение, используя метод практических работ в сочетании с беседой.
Для проведения практических работ при изучении темы «Окружность и круг» можно воспользоваться заданиями из тетради «Наглядная геометрия. 3 класс», авторы Н.Б. Истомина и Н.С. Подходова.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основным разделом умственного воспитания является формирование различных геометрических представлений, которое имеет большое значение в деятельности человека.
Основной задачей в преподавании состоит в развития у младших школьников геометрических представлений. Их необходимо научить обобщать изученный материал, изображать на чертежах заданную фигуру, уметь видеть геометрические образы и выполнять определенный измерения.
Каждому учащемуся необходимо четко формулировать предложение, находить главное в теоретической части, отличать гипотезу от факта, развивать воображение. Поэтому перед педагогом стоит нелегкая задача, развить все эти навыки у учеников. Он должен направлять учащихся на нахождение геометрических фигур, изображений путем наводящих вопросов. Именно математика предоставляет благоприятные возможности для воспитания воли, трудолюбия, настойчивости в преодолении трудностей, упорства в достижении целей.
Предмет геометрия позволяет ученикам разглядеть в природе и в жизни симметрию. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Поэтому человек наверное так заинтересован в изучении кривых. Впрочем, кривые - отнюдь не только объект научных исследований. Интерес к ним обусловлен не только их красотой и оригинальностью, но и большой практической ценностью. Кривые имеют непосредственное отношение к окружающему нас миру. Они проявляются в частности в природе, науке, архитектуре. Замечательные кривые поистине замечательны своими свойствами. Трудно себе представить мир без этих кривых, хотя они так не заметны для нашего повседневного взора.
Кривые можно увидеть везде: изображение винта, воронок, колес и т.д., все это привлекает взгляд людей.
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 575; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!