Примеры решения систем линейных уравнений методом Гаусса

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений

x ₁ – 2 x ₂ + x ₃ + x ₄ = –1;

3 x ₁ + 2 x ₂ – 3 x ₃ – 4 x ₄ = 2;

2 x ₁ – x ₂ + 2 x ₃ – 3 x ₄ = 9;

x ₁ + 3 x ₂ – 3 x ₃ – x ₄ = –1.

Решение:Составим матрицу В и преобразуем ее. Для удобства вычислений отделимвертикальной чертой столбец, состоящий из свободных членов:

1 –2 1 1 –1

B = 3 2 –3 –4 2

2 –1 2 –3 9

1 3 –3 –1 –1

Умножим первую строку матрицы В последовательно на 3, 2 и 1 и вычтем соответственно из второй, третьей и четвертой строк. Получим матрицу,эквивалентную исходной:

1 –2 1 1 –1

0 8 –6 –7 5

0 3 0 –5 11

0 5 –4 –2 0

Третью строку матрицы умножим на 3 и вычтем ее из второй строки. Затем новую вторую строку умножим на 3 и на 5 и вычтем из третьей и четвертой строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:

1 –2 1 1 –1

0 –1 –6 8 –28

0 0 –1 0 –3

0 0 0 19 –19

Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную исходной:

x ₁ – 2 x ₂ + x ₃ + x ₄ = –1;

– X ₂ – 6 x ₃ + 8 x ₄ = –28;

– x ₃ = –3;

19 x ₄ = –19.

Решим полученную систему методом подстановки, двигаясь последовательно от последнего уравнения к первому. Из четвертого уравнения x ₄ = –1, из третьего х ₃ = 3. Подставив значения х₃ и x ₄ во второе уравнение, найдем x₂ = 2. Подставив значения x ₂ , x₃, x₄ в первое уравнение, найдем x ₁ = 1.

Ответ. (1; 2; 3;-1).

Пример 2

Решить систему уравнений

Решение :

Выразим из первого уравнения переменную x:

и подставим её во второе и третье уравнения:

Выразим теперь из второго уравнения переменную и подставим её в третье уравнение системы:

Теперь третье уравнение зависит только от y и мы можем его решить:

Итак, переменная y найдена. По уже полученным формулам для x и z мы можем последовательно их найти:

Ответ. (2; –1; 1).

Этот метод иногда можно применить и для решения нелинейных систем.

Пример 3

Решить систему уравнений

Решение :

Выразим z из второго уравнения: z = 1 + 2x – y и подставим его в первое и третье уравнения. Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

Опять из первого уравнения выражаем y (её легче выразить, чем x): Подставляем y во второе уравнение и получаем:

Теперь по найденному x находим y и z:

Ответ. (1; 0; 3), (–1; –2; 1).

Контрольные вопросы:

- понятие определителя n-ого порядка;

- методы решения систем линейных уравнений;

- решение систем линейных уравнений методом Крамера;

- формулы Крамера;

- решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Порядок выполнения работы:

Используя теоретические сведения выполнить предложенное преподавателем задание
Соответствующим образом оформить работу

Лист 1. Практическая работа № 8 по теме « Решение систем линейных алгебраических уравнений различными способами» Выполнил:__________ (ФИО) группа:_____________ Проверил:__________ Оценка:____________

Лист 2. № примера Решение: Ответ:

Оформление работы:

Примеры по теме:

Решение систем линейных уравнений методом Крамера