Содержание практического занятия:
А. Ответить на вопросы:
1) Дайте определение системы линейных алгебраических уравнений.
2) Как решить систему уравнений методом Крамера?
3) Приведите примеры нахождения решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
Б. Выполнить задания:
Задание 1. Решить систему уравнений методом Крамера:
1) | 2) | 3) |
Тема: Комплексные числа и действия с ними
Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с комплексными числами.
Теоретические сведения к практическому занятию:
Комплексное число – это выражение вида
, (1.1)
где x , y – вещественные числа, а – мнимая единица. Первое из вещественных чисел, x, называется вещественной (действительной) частью комплексного числа (используется обозначение ); второе, y, - мнимой частью ( ). Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного числа.
Числом, сопряженным к , называют число вида . Используя формулу разности квадратов, получаем, что . Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Дискриминант данного уравнения: меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:
, т.е. ; .
Справедливы следующие правила арифметических действий над комплексными числами и :
|
|
1) (осуществляется сложение или вычитание алгебраических двучленов и приведение подобных);
2) (осуществляется перемножение алгебраических двучленов и приведение подобных с учетом того, что );
3) (эта операция возможна только в случае, когда ).
Пример 2. Вычислить и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.
Решение. Действуя в соответствии с правилами получаем:
;
поэтому , .
Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку M ( x ; y ) на декартовой плоскости (при этом на оси OX располагаются вещественные числа , а на оси OY – чисто мнимые числа ).
Модулем комплексного числа назовем длину отрезка (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. . Аргументом комплексного числа ( ) назовем угол, который вектор образует с положительным направлением оси OX. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию . При этом выражение вида
(1.2)
называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
|
|
Преобразуем (1.1)
и, сравнивая с (1.2), получаем, что аргумент z можно найти, решив систему
или (1.3.)
Пример 3. Записать комплексное число в тригонометрической форме , указать модуль и аргумент комплексного числа.
Решение. По определению . Для определения аргумента воспользуемся формулой: . Получаем, что . Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: .
Возведение в степень и извлечение корней . Если комплексное число задано тригонометрической формой , то справедлива формула Муавра
. (1.4)
Для извлечения корня n-й степени (n – целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:
, k =0,1,…, n -1. (1.5)
Самостоятельная работа:
Задание 1. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
1) 2) 3) 4)
Задание 2. Найти все корни уравнений:
1) ; 2) ; 4) ;
5) ; 6) 7)
Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 49; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!