Задача 7. Плоский изгиб ( двухопорная балка)

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Произвести расчет на прочность двухопорной балки (рис. 29).

Материал балки – сталь, [σ_и] = 200 МПа.

План решения задачи:

1) определить опорные реакции и проверить правильность их определения;

2) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

3) подобрать номер профиля сечения.

Исходные данные к задаче 7 приведены в табл. 8.

Рис. 29. Схемы балок к задаче 7

Таблица 8

Данные к задаче 7

Номер строки	Номер схемы	Нагрузки			Длины участков, м
Номер строки	Номер схемы	F, кН	М, кНм	q, кН/м	а	в	с
1	I	10	10	1	1,1	1,1	1,1
2	II	20	20	2	1,2	1,2	1,2
3	III	30	30	3	1,3	1,3	1,3
4	IV	40	40	4	1,4	1,4	1,4
5	V	50	50	5	1,5	1,5	1,5
6	VI	60	40	6	1,6	1,6	1,6
7	VII	70	30	7	1,7	1,7	1,7
8	VIII	80	20	8	1,8	1,8	1,8
9	IX	90	10	9	1,9	1,9	1.9
10	X	100	60	10	2,0	2,0	2,0
	в	а	б	в	а	б	в

Определение перемещений при плоском изгибе

Перемещения при плоском изгибе характеризуются прогибом y и углом поворота поперечного сечения φٕ, величины которых определяются из универсального уравнения изогнутой оси балки:

где y₀, φ₀ – прогиб и угол поворота сечения в начале координат;

a , b –расстояние от начала координат до сечения, в котором

приложен внешний силовой фактор (F и m или опорная реакция);

с – расстояние от начала координат до начала приложения

распределенной нагрузки;

d – расстояние от начала координат до конца приложения

распределенной нагрузки (начала приложения компенсирующей распределенной нагрузки q_к);

x – абсцисса рассматриваемого сечения.

При использовании универсального уравнения начало координат всегда выбирается на левом конце балки. Это уравнение получено путем интегрирования приближенного дифференциального уравнения упругой линии балки:

где изгибающий момент в сечении x.

Поэтому знаки у слагаемых, включающих F , m и q, будут определяться по правилу знаков для изгибающего момента при рассмотрении равновесия левой части балкой. По этой же причине в уравнения включаются только те силовые факторы, которые находятся слева от сечения с координатой x. Если распределенная нагрузка qне действует до правого конца балки, ее действие надо продолжить до этого конца и, соответственно, приложить равнозначную компенсирующую нагрузку q_к, которая учитывается в уравнении с противоположным основной qзнаком. На эту особенность надо обратить внимание, так как при построении эпюр Q и M такой необходимости не возникало. Начальные параметры y₀ и φ₀ определяются из условия, что на опорах прогибы равны нулю (см. далее прим. 7).

Для проверки правильности построения упругой линии балки можно использовать соответствие знака кривизны упругой линии и знака . Если >0, то на этом участке выпуклость упругой линии будет направлена вниз, и наоборот.

Пример 7

Определить прогибы в характерных сечениях балки (рис. 30) и построить ее изогнутую ось.

Построение эпюр Q и M, а также подбор сечения балки проделайте самостоятельно. Принимается двутавр № 16, , .

Начало координат выбираем в крайнем левом сечении балки (на опоре С). Балка имеет три участка нагружения: I, II, III (см. рис. 30). Распределенная нагрузка q действует только на участке II. Доводим распределенную нагрузку q до конца балки и на этом участке III показываем компенсирующую (уравновешивающую) нагрузку.

Составим уравнение прогибов:

Рассматриваемая балка имеет три участка нагружения. В уравнении прогибов отмечены участки, на которых учитывается каждый из силовых факторов. Слагаемые уравнения от соответствующего внешнего фактора имеют такой же знак, как и при определении изгибающего момента.