Преобразования, приводящие к уравнениям-следствиям
В предыдущем пункте мы разобрали, какие преобразования из списка основных преобразований и при каких условиях являются равносильными. Теперь посмотрим, какие из этих преобразований и при каких условиях приводят к уравнениям-следствиям, то есть, к уравнениям, которые содержат все корни преобразовываемого уравнения, но помимо них могут иметь и другие корни – посторонние корни для исходного уравнения.
Преобразования, приводящие к уравнениям-следствиям, востребованы не меньше равносильных преобразований. Если с их помощью удастся получить довольно простое в плане решения уравнение, то его решение и последующее отсеивание посторонних корней даст решение исходного уравнения.
Заметим, что все равносильные преобразования можно считать частными случаями преобразований, которые приводят к уравнениям-следствиям. Оно и понятно, ведь равносильное уравнение есть частный случай уравнения-следствия. Но с практической точки зрения более полезным является знание о том, что рассматриваемое преобразование именно равносильное, а не приводящее к уравнению-следствию. Разъясним, почему это так. Если мы знаем, что преобразование является равносильным, то полученное в результате его проведения уравнение точно не будет иметь корней, посторонних для исходного уравнения. А преобразование, приводящее к уравнению-следствию, может быть причиной появления посторонних корней, что обязывает нас в дальнейшем проводить дополнительное действие – отсеивание посторонних корней. Поэтому, в этом пункте статьи мы основное внимание сосредоточим на преобразованиях, в результате проведения которых могут появиться посторонние корни для исходного уравнения. И действительно важно уметь отличать такие преобразования от равносильных преобразований, чтобы четко понимать, когда необходимо проводить отсеивание посторонних корней, а когда это делать не обязательно.
|
|
|
Проанализируем весь список основных преобразований уравнений, приведенный во втором пункте данной статьи, с целью поиска преобразований, в результате проведения которых могут появиться посторонние корни.
· Замена выражений, находящихся в левой и правой частях уравнения, тождественно равными им выражениями.
Мы доказали, что это преобразование является равносильным, если при его проведении не изменяется ОДЗ. А если ОДЗ изменится, что при этом произойдет? Сужение ОДЗ может повлечь потерю корней, подробнее об этом речь пойдет в следующем пункте. А при расширении ОДЗ могут появиться посторонние корни. Обосновать это не сложно. Приведем соответствующие рассуждения.
Пусть выражение C(x) такое, что оно тождественно равно выражению A(x) и ОДЗ для уравнения C(x)=B(x) шире, чем ОДЗ для уравнения A(x)=B(x). Докажем, что уравнение C(x)=B(x) – это следствие уравнения A(x)=B(x), и что среди корней уравнения C(x)=B(x) могут быть корни, посторонние для уравнения A(x)=B(x).
|
|
|
Пусть q – корень уравнения A(x)=B(x). Тогда A(q)=B(q) – верное числовое равенство. Так как ОДЗ для уравнения C(x)=B(x) шире, чем ОДЗ для уравнения A(x)=B(x), то выражение C(x) определено при x=q. Тогда, учитывая тождественное равенство выражений C(x) и A(x), заключаем, что C(q)=A(q). Из равенств C(q)=A(q) и A(q)=B(q) в силу свойства транзитивности вытекает равенство C(q)=B(q). Из этого равенства следует, что q – это корень уравнения C(x)=B(x). Это доказывает, что при указанных условиях уравнение C(x)=B(x) является следствием уравнения A(x)=B(x).
Остается обосновать, что уравнение C(x)=B(x) может иметь корни, отличные от корней уравнения A(x)=B(x). Докажем, что любой корень уравнения C(x)=B(x) из ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) является корнем уравнения A(x)=B(x). Путь p – корень уравнения C(x)=B(x), принадлежащий ОДЗ для уравнения A(x)=B(x). Тогда C(p)=B(p) – верное числовое равенство. Так как p принадлежит ОДЗ для уравнения A(x)=B(x), то выражение A(x) определено при x=p. Из этого и из тождественного равенства выражений A(x) и C(x) следует, что A(p)=C(p). Из равенств A(p)=C(p) и C(p)=B(p) в силу свойства транзитивности следует, что A(p)=B(p), значит, p – это корень уравнения A(x)=B(x). Этим доказано, что любой корень уравнения C(x)=B(x) из ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) является корнем уравнения A(x)=B(x). Другими словами, на ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) не может быть корней уравнения C(x)=B(x), которые являются посторонними корнями для уравнения A(x)=B(x). Но по условию ОДЗ для уравнения C(x)=B(x) шире, чем ОДЗ для уравнения A(x)=B(x). А это допускает существование числа r, принадлежащего ОДЗ для уравнения C(x)=B(x) и не принадлежащего ОДЗ для уравнения A(x)=B(x), являющегося корнем уравнения C(x)=B(x). То есть, уравнение C(x)=B(x) может иметь корни, посторонние для уравнения A(x)=B(x), причем все они будут принадлежать тому множеству, на которое расширяется ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) при замене в нем выражения A(x) тождественно равным ему выражением C(x).
|
|
|
Итак, замена выражений, находящихся в левой и правой частях уравнения, тождественно равными им выражениями, в результате которой расширяется ОДЗ, в общем случае приводит к уравнению-следствию (то есть, может привести к возникновению посторонних корней) и лишь в частном случае приводит к равносильному уравнению (в том случае, если полученное уравнение не будет иметь корней, посторонних для исходного уравнения).
|
|
|
Приведем пример проведения разобранного преобразования. Замена выражения в левой части уравнения 
тождественно равным ему выражением x·(x−1) приводит к уравнению x·(x−1)=0, при этом происходит расширение ОДЗ – в нее добавляется число 0. Полученное уравнение имеет два корня 0 и 1, причем подстановка этих корней в исходное уравнение показывает, что 0 – это посторонний корень для исходного уравнения, а 1 – корень исходного уравнения. Действительно, подстановка нуля в исходное уравнение дает не имеющее смысла выражение 
, так как в нем присутствует деление на нуль, а подстановка единицы дает верное числовое равенство 
, что то же самое 0=0.
Обратите внимание, что подобное преобразование похожего уравнения 
в уравнение (x−1)·(x−2)=0, в результате проведения которого тоже расширяется ОДЗ, не приводит к появлению посторонних корней. Действительно, оба корня полученного уравнения (x−1)·(x−2)=0 - числа 1 и 2, являются корнями исходного уравнения, в чем легко убедиться путем проверки подстановкой. Этими примерами мы еще раз хотели подчеркнуть, что замена выражения в левой или правой части уравнения тождественно равным ему выражением, при которой расширяется ОДЗ, не обязательно приводит к появлению посторонних корней. Но может и приводить к их появлению. Так что, если в процессе решения уравнения такое преобразование имело место быть, то обязательно нужно проводить проверку с целью выявления и отсеивания посторонних корней.
Наиболее часто ОДЗ уравнения может расшириться и могут появиться посторонние корни из-за замены нулем разности одинаковых выражений или суммы выражений с противоположными знаками, из-за замены нулем произведений с одним или несколькими нулевыми множителями, из-за сокращения дробей и из-за использования свойств корней, степеней, логарифмов и т.д.
· Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же числа.
Выше мы показали, что это преобразование всегда равносильное, то есть, приводящее к равносильному уравнению. Идем дальше.
· Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же выражения.
В предыдущем пункте мы добавили условие про то, что ОДЗ для прибавляемого или вычитаемого выражения должна быть не уже, чем ОДЗ для преобразовываемого уравнения. Это условие сделало рассматриваемое преобразование равносильным. Здесь имеют место рассуждения, аналогичные рассуждениям, приведенным в начале этого пункта статьи касательно того, что равносильное уравнение – это частный случай уравнения-следствия и что знание о равносильности преобразования практически полезнее знания об этом же преобразовании, но с позиций того, что оно приводит к уравнению-следствию.
А может ли в результате прибавления одного и того же выражения или вычитания одного и того же выражения из обеих частей уравнения получиться уравнение, которое помимо всех корней исходного уравнения будет иметь какие-либо еще корни? Нет, не может. Если ОДЗ для прибавляемого или вычитаемого выражения не уже, чем ОДЗ для исходного уравнения, то в результате прибавления или вычитания получится равносильное уравнение. Если же ОДЗ для прибавляемого или вычитаемого выражения будет уже, чем ОДЗ для исходного уравнения, то это может привести к потере корней, а не к появлению посторонних корней. Подробнее об этом поговорим в следующем пункте.
· Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую со знаком, измененным на противоположный.
Это преобразование уравнения всегда равносильное. Поэтому нет смысла рассматривать его как преобразование, приводящее к уравнению-следствию, по озвученным выше причинам.
· Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число.
В предыдущем пункте мы доказали, что если умножение или деление обеих частей уравнения проводится на отличное от нуля число, то это является равносильным преобразованием уравнения. Поэтому, опять же, нет говорить о нем, как о преобразовании, приводящем к уравнению-следствию.
Но здесь стоит обратить внимание на оговорку про отличие от нуля числа, на которое проводится умножение или деление обеих частей уравнения. Для деления эта оговорка понятна – с начальных классов мы уяснили, что на нуль делить нельзя. А зачем эта оговорка для умножения? Давайте поразмыслим, к чему приведет умножение обеих частей уравнения на нуль. Для наглядности возьмем конкретное уравнение, например, 2·x+1=x+5. Это линейное уравнение, имеющее единственный корень, которым является число 4. Запишем уравнение, которое получится при умножении обеих частей этого уравнения на нуль: (2·x+1)·0=(x+5)·0. Очевидно, корнем этого уравнения является любое число, ведь при подстановке в это уравнение вместо переменной x любого числа получается верное числовое равенство 0=0. То есть, в нашем примере умножение обеих частей уравнения на нуль привело к уравнению-следствию, что явилось причиной появления бесконечного множества посторонних корней для исходного уравнения. Причем, стоит заметить, что в этом случае обычные способы отсеивания посторонних корней не справляются со своей задачей. Значит, проделанное преобразование бесполезно для решения исходного уравнения. И это типичная ситуация для рассматриваемого преобразования. Именно поэтому такое преобразование, как умножение обеих частей уравнения на нуль, не используется для решения уравнений. Это преобразование и другие преобразования, которые не следует использовать для решения уравнений, нам еще предстоит разобрать в последнем пункте.
· Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение.
В предыдущем пункте мы доказали, что это преобразование является равносильным при выполнении двух условий. Напомним их. Первое условие: ОДЗ для этого выражения должна быть не уже, чем ОДЗ для исходного уравнения. Второе условие: выражение, на которое проводится умножение или деление, не должно обращаться в нуль на ОДЗ для исходного уравнения.
Давайте изменим первое условие, то есть, будем считать, что ОДЗ для выражения, на которое планируется умножение или деление обеих частей уравнения, уже, чем ОДЗ для исходного уравнения. В результате проведения такого преобразования будет получено уравнение, ОДЗ для которого будет уже, чем ОДЗ для исходного уравнения. Такие преобразования могут привести к потере корней, о них мы будем говорить в следующем пункте.
А что будет, если убрать второе условие про не обращение в нуль значений выражения, на которое проводится умножение или деление обеих частей уравнения, на ОДЗ для исходного уравнения?
Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, которое обращается в нуль на ОДЗ для исходного уравнения, приведет к уравнению, ОДЗ которого будет уже, чем ОДЗ для исходного уравнения. Действительно, ведь из нее выпадут числа, обращающие в нуль выражение, на которое было проведено деление. Это может привести к потере корней.
А как обстоят дела с умножением обеих частей уравнения на одно и то же выражение, которое обращается в нуль на ОДЗ для исходного уравнения? Можно показать, что при умножении обеих частей уравнения A(x)=B(x) на выражение C(x), ОДЗ для которого не уже, чем ОДЗ для исходного уравнения, и которое обращается в нуль на ОДЗ для исходного уравнения, получается уравнение-следствие, которое помимо всех корней уравнения A(x)=B(x) может иметь и другие корни. Сделаем это, тем более что этот пункт статьи как раз посвящен преобразованиям, приводящим к уравнениям-следствиям.
Пусть выражение C(x) такое, что ОДЗ для него не уже, чем ОДЗ для уравнения A(x)=B(x), и оно обращается в нуль на ОДЗ для уравнения A(x)=B(x). Докажем, что при этом уравнение A(x)·C(x)=B(x)·C(x) есть следствие уравнения A(x)=B(x).
Пусть q – корень уравнения A(x)=B(x). Тогда A(q)=B(q) – верное числовое равенство. Так как ОДЗ для выражения C(x) не уже, чем ОДЗ для уравнения A(x)=B(x), то выражение C(x) определено при x=q, значит, C(q) – это некоторое число. Умножение обеих частей верного числового равенства на любое число дает верное числовое равенство, поэтому, A(q)·C(q)=B(q)·C(q) - верное числовое равенство. Значит q – корень уравнения A(x)·C(x)=B(x)·C(x). Этим доказано, что любой корень уравнения A(x)=B(x) является корнем уравнения A(x)·C(x)=B(x)·C(x), откуда следует, что уравнение A(x)·C(x)=B(x)·C(x) есть следствие уравнения A(x)=B(x).
Заметим, что при указанных условиях уравнение A(x)·C(x)=B(x)·C(x) может иметь корни, посторонние для исходного уравнения A(x)=B(x). Ими являются все такие числа из ОДЗ для исходного уравнения, которые обращают выражение C(x) в нуль (все числа, обращающие в нуль выражение C(x) являются корнями уравнения A(x)·C(x)=B(x)·C(x), так как их подстановка в указанное уравнение дает верное числовое равенство 0=0), но которые не являются корнями уравнения A(x)=B(x). Уравнения A(x)=B(x) и A(x)·C(x)=B(x)·C(x) при указанных условиях будут равносильными тогда, когда все числа из ОДЗ для уравнения A(x)=B(x), обращающие в нуль выражение C(x), являются корнями уравнения A(x)=B(x).
Итак, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение, ОДЗ для которого не уже, чем ОДЗ для исходного уравнения, и которое обращается в нуль на ОДЗ для исходного уравнения, в общем случае приводит к уравнению-следствию, то есть, может привести к появлению посторонних корней.
Приведем пример для иллюстрации. Возьмем уравнение x+3=4. Его единственным корнем служит число 1. Умножим обе части этого уравнения на одно и то же выражение, обращающееся в нуль на ОДЗ для исходного уравнения, например, на x·(x−1). Это выражение обращается в нуль при x=0 и x=1. Умножение обеих частей уравнения на это выражение даст нам уравнение (x+3)·x·(x−1)=4·x·(x−1). Полученное уравнение имеет два корня: 1 и 0. Число 0 – это посторонний корень для исходного уравнения, появившийся в результате проведенного преобразования.
К началу страницы
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 169; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!