Что получается в результате преобразования уравнения?

Преобразование уравнений

Что понимают под преобразованием уравнения?

В школьных учебниках [1, 2] нет конкретных формулировок по вопросам, что такое преобразование уравнения и что значит преобразовать уравнение. Но имеющейся там информации вполне достаточно для самостоятельного ответа на них. Постараемся это сделать в доступной форме.

Определение

Преобразовать уравнение - это значит выполнить некоторые действия с уравнением, его частями и/или входящими в его состав выражениями.

Приведем пример. Возьмем конкретное уравнение 6·x=15 и выполним с ним конкретное действие – разделим обе части этого уравнения на 3. В результате имеем (6·x):3=15:3. Так, выполнив деление обеих частей уравнения 6·x=15 на 3, мы преобразовали это уравнение, в результате проведенного преобразования мы получили новое уравнение (6·x):3=15:3.

Определение

Действия, которые проводят с уравнениями, называют преобразованиями уравнения.

В приведенном выше примере мы проводили такое преобразование уравнения, как деление обеих частей уравнения на 3.

Таким образом, преобразование уравнения – это с одной стороны процесс, заключающийся в выполнении какого-то действия с уравнением, а с другой стороны – само это действие.

Для чего нужны преобразования уравнений? С их помощью можно решать уравнения. Каким образом? Определенные преобразования, о которых речь пойдет в следующем пункте, позволяют переходить от уравнения к равносильному ему уравнению или уравнению-следствию. Умелое использование таких преобразований дает возможность выстроить цепочку равносильных уравнений и уравнений-следствий с довольно простым в плане решения конечным уравнением, что позволяет по корням последнего уравнения найти все корни исходного уравнения.

Давайте разберем все основные преобразования, которые используются при решении уравнений.

К началу страницы

Список основных преобразований, использующихся при решении уравнений

Наиболее часто при решении уравнений используются следующие преобразования:

· Замена выражений, находящихся в левой и правой частях уравнения, тождественно равными им выражениями.

· Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же числа.

· Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же выражения.

· Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую со знаком, измененным на противоположный.

· Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.

· Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение.

К началу страницы

Другие преобразования

В представленный в предыдущем пункте список мы намеренно не включили такие преобразования, как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень, логарифмирование, потенцирование обеих частей уравнения, извлечение корня одной степени из обеих частей уравнения, освобождение от внешней функции и другие. Дело в том, что эти преобразования не столь общи: преобразования из приведенного выше списка используются при решении уравнений всех видов, а только что упомянутые преобразования - по большей части для решения определенных видов уравнений (иррациональных, показательных, логарифмических и т.д.). Они подробно рассмотрены в рамках соответствующих методов решения уравнений. Вот ссылки, по которым можно выйти на их детальное описание:

· Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень.

· Логарифмирование обеих частей уравнения.

· Потенцирование обеих частей уравнения.

· Извлечение корня одной и той же степени из обеих частей уравнения.

· Освобождение от одинаковой внешней функции.

· Замена выражения, отвечающего одной из частей исходного уравнения, выражением из другой части исходного уравнения.

Приведенные ссылки содержат исчерпывающую информацию по перечисленным преобразованиям. Поэтому, на них в этой статье мы больше не будем останавливаться. Вся последующая информация относится к преобразованиям из списка основных преобразований.