Задания для контрольных и самостоятельных работ.

I. Вычислить следующие неопределённые интегралы:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.			;
20.

II. Вычислить несобственный интеграл или установить егорасходимость.

1.	2.	3.	4.
5.	6.	7.	8.
9.	10.	11.	12.
13.	14.	15.	16.
17.	18.	19.	20.

III. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох кривой и вычислить площадь его наибольшего продольного сечения. Сделать чертёж.

1. ;	11.
2.	12.
3.	13.
4.	14.
5.	15.
6.	16.
7.	17.
8.	18.
9.	19.
10.	20.

IV. Решить задачу, используя приложения определённых интегралов.

1. Найти статические моменты относительно осей координат отрезка прямой линии , заключённого между осями координат.

2. Найти статические моменты прямоугольника со сторонами и относительно его сторон.

3. Найти статические моменты относительно координатных осей и координаты центра тяжести треугольника, ограниченного прямыми: и .

4. Найти статические моменты относительно координатных осей и координаты центра тяжести дуги астроиды , лежащих в первом квадрате.

5. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной эллипсом и координатными осями ( ).

6. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кривыми: .

7. Найти момент инерции окружности радиуса относительно её диаметра.

8. Найти момент инерции прямоугольника со сторонами и относительно его сторон.

9. Найти моменты инерции площади эллипса относительно его главных осей.

10. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью , без учёта сопротивления воздуха, даётся формулой , где - протекшее время, - ускорение силы тяжести. На каком расстоянии начального положения будет находиться тело через сек от момента бросания?

11. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью , с учётом сопротивления воздуха, даётся формулой , где - протекшее время, - ускорение силы тяжести и с- постоянная. Найти высоту поднятия тела.

12. Найти массу стержня длины l =100 см, если линейная плотность стержня на расстоянии х см от одного из его концов равна .

13. Вертикальный треугольник с основанием и высотой погружён в воду вершиной вниз так, что его основание находится на поверхности воды. Найти силу давления воды.

14. Вычислить кинетическую энергию прямого круглого конуса массы М, вращающегося с угловой скоростью около своей оси, если радиус основания конуса R, а высота Н.

15. Скорость движения точки . Найти путь, пройденный точкой от начала движения до полной остановки.

16. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из конического сосуда, обращённого вершиной вниз, радиус основания которого равен R и высота Н.

17. Найти статические моменты относительно координатных осей и координаты центра тяжести треугольника, ограниченного прямой и осями координат.

18. Найти центр тяжести дуги окружности радиуса а, стягивающей угол .

19. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной кривыми и .

20. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать масло через верхнее отверстие из цистерны, имеющей форму цилиндра с горизонтальной осью, если удельный вес масла , длина цистерны Н и радиус основания R.

Тест №4

1. При замене переменной в опреде6ленном интеграле пределы интегрирования:

1) изменяются; 2) остаются постоянными;

3) меняются местами; 4) меняют знак на противоположный.

2. равен

1) ; 2) ;

3) ; 4) относится к разряду «не берущихся» интегралов.

1) расходится; 2) сходится;

3) не вычисляется; 4) равен 1.

4. равен

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Ответы к тестам:

Тест 1

1.-в); 2. а); 3. д); 4. а)

Тест 2

1.-а); 2. в); 3. а); 4. а); 5. б)

Тест 3

1.-б); 2. в); 3. в); 4. а)

Тест 4

1.-а); 2. а); 3. а); 4. а)

Вопросы для самоконтроля

Введение в анализ

1. Сформулируйте определения понятия функции. Что называется областью определения функции?

2. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

3. Сформулируйте определение понятия предела.

4. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

5. Чему равен

6. Как определяется число е ?

7. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке и на множестве Х.

Производная и дифференциал

1. Сформулируйте определение производной.

2. Какой геометрический смысл производной?

3. Какой механический смысл первой и второй производной?

4. Как найти производную неявной функции?

5. Что называется дифференциалом функции и дифференциалом переменной?

Приложения производной

1. В чем заключается правило Лопиталя? Приведите примеры.

2. Каковы признаки возрастания и убывания функции?

3. Как найти максимум и минимум функции?

4. Как находится интеграл выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой, заданной уравнением y = f(x).

Функции многих переменных.

1. Сформулируйте определения функции двух и трех переменных.

2. Как можно геометрически изобразить функцию двух переменных?

3. Сформулируйте определения частных производных.

4. Как определяется экстремум функции двух переменных?

Интегральное исчисление.

1. Что называется неопределенным интегралом? Каков его геометрический смысл?

2. Каковы основные методы интегрирования функций?

3. Какие условия экстремума «сильнее», необходимое или достаточное?

4. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

5. В чем состоит способ подстановки и интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла?

6. Какие геометрические величины можно вычислить с помощью определенного интеграла? Напишите основные формулы.

7. Какие из приведенных интегралов являются несобственными:

8. ; ; ; ;

какие из них сходятся?

Приложение 1.

Логарифм и его свойства.

Логарифмом числа при основании называют показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить : , следовательно .

При любых любых и любом имеют место следующие равенства:

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

Логарифмы по основанию 10 называются десятичными (обозначение: ), а по основанию - натуральными (обозначение ). При этом .

Приложение 2.

Тригонометрические формулы

» 3, 14159…, где l- длина окружности, d- диаметр.

1. Знаки тригонометрических функций

sina cosa tga, ctga

2. Основные формулы тригонометрии

2.1 Основные соотношения

sin²a+cos²a=1, tga= , ctga= , tga×ctga=1; =1+tg²a, =1+ctga.

2.2 Выражение одних тригонометрических функций через другие:

2.3 Свойства дополнительных углов:

2.4 Формулы суммы и разности углов:

2.5 Формулы двойных углов:

2.6 Формулы половинных углов:

Примечание: знаки «+» или «-» определяются по п.1.

2.7 Формулы преобразования суммы в произведение:

2.8 Формулы преобразования произведений в суммы

Приложение 3

3.1 Арифметическая прогрессия есть последовательность чисел ( ) в которой разность (q) двух любых последовательных чисел («последующее» минус «предыдущее») есть величина постоянная. Эта величина называется разностью прогрессии.

3.2 Геометрическая прогрессия есть последовательность чисел ( ) в которой отношение (d) двух последовательных чисел есть величина постоянная. Эта величина q называется знаменателем прогрессии.