Практическое занятие №5«Выполнение тождественных преобразований в тригонометрических выражениях» 13 страница

Практическое занятие №12

«Решение задач на нахождение расстояний и углов в пространстве»

Практическое занятие рассчитано на 2 часа, относится к теме «Прямые и плоскости в пространстве».

Формируемые компетенции:У24, У25, У28, У29, У30, У31, З1, З2, З3

Цель:научиться решать задачи на нахождение углов и расстояний в пространстве, используя признаки и основные теоремы о параллельности; признаки перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трёх перпендикулярах.

Методическое и техническое обеспечение:

- методические указания к выполнению практического занятия;

- комплекты учебно-наглядных пособий по соответствующим разделам математики.

- мультимедийный проектор;

- ноутбук;

- проекционный экран;

- компьютерная техника для обучающихся с наличием лицензионного программного обеспечения;

- комплект слайд-презентаций.

Теоретические сведения

Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек ( ).

α α α β

aa║αα║β

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен ( ).

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости .

Прямая, пересекающая плоскость и не перпендикулярная ей, называется наклонной к плоскости.

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называют угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен

Признаки параллельности прямой и плоскости:

1. Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

2. Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Признаки параллельности плоскостей:

1. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

2. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Признаки перпендикулярности прямой и плоскости:

1. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

2. Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Теорема о трёх перпендикулярах.

Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и самой наклонной.

Признаки параллельности прямых в пространстве:

1. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

2. Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей.

Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Пересечение двух полупространств, границами которых служат непараллельные плоскости, называется двугранным углом.

МN-ребро двугранного угла;

-грани;

;

-линейный угол двугранного угла.

Двугранный угол измеряется своим линейным углом, т.е.

Две пересекающиеся плоскости определяют в пространстве четыре двугранных угла.

Две плоскости называют взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен ( ).

Теорема (признак перпендикулярности плоскостей).

Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости

Теорема. Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то прямая, проведенная в одной плоскости перпендикулярно линии пересечения плоскостей, перпендикулярна другой плоскости.

Пример выполнения задания

Пример №1. Дан прямоугольный параллелепипед . Постройте его сечение плоскостью, проходящей через середины рёбер и . Вычислите периметр сечения, принимая см, см, см.

Дано:

- прямоугольный параллелепипед.

см,

см. Найти:

B₁C₁

A₁D₁

MBNC

Решение.

Построим сечение.

1. соединим точки KиL ; K иM;

2. проведём

3. соединим точки LиM.

Плоскость – искомое сечение, которое является прямоугольником.

По условию см см,

см см.

прямоугольный (т.к. прямоугольный параллелепипед) по т.Пифагора

см.

см, т.к.

см

Ответ: см.

Пример №2.Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами а и b, проведён перпендикуляр к плоскости треугольника. Длина перпендикуляра равна с. Найти расстояние от его концов до гипотенузы

Дано:

Найти:

Решение.

1. то теореме о трёх перпендикулярах

2. ABC ( – по условию) по т.Пифагора или

3. MKC ( по опр. к плоскости ) по т.Пифагора .

Ответ: ;

Пример №3.

Прямая AC наклонена к плоскости под углом ,прямая AB под углом 2 .Меньший из отрезков AC и AB, где , равен а. Найти BC, если известно, что проекции наклонных взаимно перпендикулярны.

Дано:

Найти:

Решение.

( следовательно, против меньшего угла лежит меньшая сторона, т.е. а т.к. АО – общая АОС и АОВ, то по т. Пифагора )

1. АОВ ( т.к. - по условию)
;

2. АОС ( , т.к. - по условию;

3. СОВ ( - по условию, )
По т.Пифагора

Ответ:

Пример №4 На грани двугранного угла величиной дана точка, удаленная от ребра на расстояние а. Найти расстояние от этой точки до другой грани.

Дано:

Найти:

Решение.

По теореме о трёх перпендикулярах Тогда линейный угол данного двугранного угла, т.е. Из прямоугольного получим:

Ответ:

Пример №5. Катеты прямоугольного треугольника равны а и .Определить расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол в 30⁰ с плоскостью треугольника.

Дано:

Найти:

Решение.

Проведём По теореме о трёх перпендикулярах как проекция наклонной на плоскость , будет перпендикулярна к . Тогда будет линейным углом двугранного угла .

Из по теореме Пифагора:

. С другой стороны, или

(как катет, лежащий против угла в 30⁰ в )

Ответ: .

Пример №6. Данный отрезок имеет концы на двух взаимно перпендикулярных плоскостях и составляет с одной из них угол в 45⁰, а с другой – угол в 30⁰; длина этого отрезка равна . Определить часть линии пересечения плоскостей, заключённую между перпендикулярами, опущенными на неё из концов данного отрезка.