Массачусетский технологический институт, февраль 1967 г. 5 страница
описывающее это равновесие, получено путем приравнивания соответствующих членов в уравнении (8) для вертикальной составляющей скорости.
Если исключить из рассмотрения системы, имеющие масштабы гроз или меньшие, характерная скорость вертикальных движений будет иметь порядок, не превышающий нескольких сантиметров в секунду. Эти движения могут развиваться в течение дня или за меньший срок. Вертикальные ускорения порядка 10-4 см/сек.2 (т. е. в 107 раз меньшие ускорения силы тяжести) представляют, поэтому значительный интерес.
В уравнении (8) член —g учитывает вертикальное ускорение. Этот член почти полностью уравновешивается членом adp / dz , а ускорений, сравнимых по величине с ускорением силы тяжести, фактически не наблюдается. Однако очевидно, что кратковременные (длящиеся меньше минуты) разрывы в поле давления или плотности будут приводить к нарушениям гидростатического равновесия, достаточным для того, чтобы вызвать вертикальные ускорения, намного превышающие 10-4 см/сек2. Тогда возникает вопрос, почему не имеют места такие ускорения?
В действительности подобные ускорения появляются, время от времени, но возникающие при этом вертикальные движения приводят к перестройке полей давления и плотности таким образом, что несколько минут (или даже секунд) спустя знак ускорения меняется на обратный. Следовательно, развивается не сильное вертикальное течение, а колебания около некоторого среднего состояния. Эти колебания представляют собой акустические волны, распространяющиеся в вертикальном направлении. По-видимому, эти колебания не должны играть существенной роли в глобальной циркуляции, но их возможное присутствие сильно усложняет математическое исследование.
|
|
|
Было бы затруднительно пытаться описать эффекты притока тепла или влияние какого-либо другого возмущающего фактора, следя за эволюцией атмосферных процессов путем наблюдения за каждой из акустических волн, в то же время нас интересует лишь то состояние, около которого совершаются колебания. Целесообразнее заменить уравнение (8) уравнением статики (30). Это уравнение почти точно описывает среднее состояние, не учитывая колебаний около этого состояния. В большинстве теоретических исследований циркуляции, за исключением исследований специально посвященных мелкомасштабным движениям, система основных уравнений модифицируется путем указанной выше замены уравнения (8) уравнением (30).
Уравнение статики является диагностическим уравнением. Используя его, мы приходим к новой системе, в которой отсутствует прогностическое уравнение для ω. Тем не менее имеются два прогностических уравнения для р, а именно, уравнение для тенденции давления (4), выведенное из уравнения переноса энергии, и уравнение для тенденции давления вида
|
|
|
полученное путем интегрирования уравнения (30) с учетом верхнего граничного условия р=0 при z=∞. Исключая dp / dt и dp / dt из уравнений (4) и (31), придем к диагностическому уравнению, связывающему ω с остальными зависимыми переменными. Это уравнение может быть решено при граничном условии ω = 0 при z = 0. В результате горизонтальных движений воздуха поля давления и плотности могут перестраиваться таким образом, что гидростатическое равновесие будет нарушено. Оказывается, что вертикальные движения должны компенсировать действие горизонтальных и восстанавливать гидростатическое равновесие. Если выразить ω через другие зависимые переменные, то не потребуется вводить в явной форме какого-либо выражения для dw / dt . Используя упомянутое выше диагностическое уравнение, мы придем к замкнутой системе трех уравнений для трех зависимых переменных и, v , р.
Против подобной системы уравнений имеются некоторые возражения. Желательно, чтобы выполнялись законы сохранения энергии и момента количества движения. Использование уравнения статики (30) вместо уравнения (8) приведет к нарушению уравнения (21) для кинетической энергии. Тем не менее, уравнение (21) может быть восстановлено, если, во-первых, определить кинетическую энергию таким образом, чтобы исключить энергию вертикальных движений, т. е. положить К = U U/2, и, во-вторых, исключить из уравнений движения (6) и (7) члены, содержащие ω. По-видимому, эти допущения, основанные на том, что значения ω малы, приемлемы настолько же, насколько и квазистатическое приближение. Однако теперь уравнение (17) для момента количества движения не будет справедливо. Оно может быть также восстановлено, если при определении момента количества движения М в выражении (16) и уравнении (6) для компоненты скорости и ввести вместо радиуса-вектора средний радиус Земли r . Уравнение для энергии будет теперь нарушено, но оно может быть снова восстановлено путем аналогичной замены r на α в уравнении (7). По существу, заменяя r на а, мы полностью игнорируем расхождение радиусов Земли, когда они направлены вверх от поверхности.
|
|
|
Запишем новую систему уравнений в двух вариантах: в первом будет использована та же система координат, что и в уравнениях (6) — (11), во втором в качестве вертикальной координаты вместо высоты над уровнем моря z вводится давление р.
|
|
|
Новая система уравнений при использовании z в качестве вертикальной координаты может быть представлена в виде:
где f=2Ωsin φ — параметр Кориолиса.
Вместо уравнения (33) можно было бы использовать уравнение тенденции давления (31) в гидростатическом приближении. Следует ясно представлять себе, что все векторы (за исключением k) в этой системе уравнений являются двумерными горизонтальными векторами, ∆ — горизонтальный дифференциальный оператор. Множитель 1/r везде следует заменить на 1/α .
Индивидуальная и частная производные по времени от некоторого скаляра X связаны между собой соотношением
Дивергенция ∆•ρU может быть представлена аналогичным выражением. Полагается, что элементарный объем равен a 2cos φ dλ dφ dz .
Эта новая система пригодна в большинстве случаев. Иногда значительно удобнее использовать давление р в качестве новой вертикальной координаты. В этом случае р становится независимой, a z — зависимой переменной, ω = dp / dt заменяет ω в качестве одной из зависимых переменных. В подобной системе уравнение неразрывности превращается в диагностическое уравнение (42). Полная система уравнений при этом может быть записана в виде:
Можно также вместо температуры Т ввести в уравнение переноса энергии (41) значение а или Θ.
Уравнения для горизонтальных компонент скорости в новых координатах имеют вид:
Индивидуальная и локальная производные по времени связаны между собой соотношением
Аналогичное выражение имеет место для ∆•U. Очевидно, частные производные d / dt , д/дλ, д/дφ и оператор ∆ следует теперь интерпретировать как производные, вычисленные при постоянном значении р. Поэтому их значения не совпадают со значениями производных в уравнениях (32) — (35). Формально уравнение (48) идентично уравнению (39), но значение частных производных несколько меняется. Масса элементарного объема теперь равна (l/g)a2cos φ dλdφdp .
Мы пришли к этой значительно более простой системе уравнений путем введения более сложного нижнего граничного условия. Вместо условия ω=0 теперь должно быть принято dz / dt =0. В то же время нижняя граница р=ро не совпадает более с координатной поверхностью.
Иногда, предполагают, что нижняя граница является координатной поверхностью, где р=р00= const . При этом использование нижнего граничного условия ω=0 дает удовлетворительную аппроксимацию. Это допущение не приводит к появлению фиктивных источников момента количества движения и энергии. Однако при этом исключаются так называемые внешние гравитационные волны, распространение которых вызывает колебания суммарной массы вертикального столба воздуха.
Система уравнений в форме (32) — (35) или в эквивалентной форме (40) — (43) — так называемая система примитивных уравнений. Это определение отражает историю использования данной системы уравнений в численном прогнозе погоды, где они послужили исходными для получения более простой геострофической модели, к рассмотрению которой мы сейчас перейдем. Представляется невероятным, чтобы кто-либо пытался использовать в задачах общей циркуляции точные уравнения, которые явились бы более первоначальными, чем примитивные.
Вихрь и дивергенция
Во многих случаях удобно выразить горизонтальную компоненту поля скорости U через вихрь ζ и дивергенцию δ:
Здесь оператор ∆ означает дифференцирование вдоль некоторой изобарической поверхности. Если принять, что этот оператор означает дифференцирование вдоль горизонтальной поверхности, то мы получим, лишь слегка отличающиеся значения вихря и дивергенции, которые также могут быть использованы. Вихрем здесь названа, по существу, компонента вектора вихря скорости ∆V, нормальная к некоторой изобарической поверхности.
Определим функцию тока ψ и потенциал скорости χ с помощью соотношений
Соленоидальная Ur и потенциальная Ud компоненты поля скорости следующим образом выражаются через функцию тока и потенциал скорости:
Если поле скорости U и, следовательно, поля ζ и δ определены на всей поверхности сферы, то тем самым определены (с точностью до аддитивной постоянной) и поля ψ и χ, и, следовательно, однозначно определены компоненты Ur и Ud .
Следует отметить, что в случае циркуляции, симметричной относительно земной оси (как это имеет место в циркуляции Хэдли), скорость зонального движения и полностью определяется соленоидальной компонентой Ur, а скорость меридионального переноса v — потенциальной компонентой Ud. В более общем случае скорости движущихся по направлению к востоку и северу потоков воздуха, осредненные вдоль кругов широты, определяются с помощью Ur и Udсоответственно.
Выпишем уравнения движения в векторной форме, в точности эквивалентной (40), но во многих случаях более удобной:
Уравнения (57) и (58) на первый взгляд могут показаться более громоздкими, чем уравнения движения (44) и (45). Преимущества использования уравнений (57) и (58) можно обнаружить, если учесть два обстоятельства.
Во-первых, как показывают наблюдения, значения вихря ζ обычно (за исключением низких широт) значительно превышают значения горизонтальной дивергенции δ. Следовательно, соленоидальная компонента поля скорости настолько превышает потенциальную, что Ur можно рассматривать в качестве хорошей аппроксимации поля U.
Во-вторых, в уравнении вихря (57) полностью отсутствуют члены, содержащие высоту изобарических поверхностей z . Следовательно, это уравнение связывает производную по времени от некоторой функции поля скорости ветра со значениями только скорости ветра
Изучая скорее некоторые особенности циркуляции, чем общую циркуляцию, можно пренебречь членами, содержащими компоненту скорости Ud, а следовательно, также δ и ω. Тогда уравнение вихря отщепляется от системы и может быть рассмотрено изолированно при условии, что силу трения F можно выразить через Ur. Если пренебречь также и силой трения F, то уравнение вихря примет вид
Сумма ζ+f представляет собой абсолютный вихрь, поскольку параметр Кориолиса равен значению абсолютного вихря относительно вращающейся Земли, которым могла бы обладать покоящаяся жидкость. Уравнение (60)—это уравнение сохранения абсолютного вихря. Оно было использовано Россби (1939) в его знаменитом исследовании распространения крупномасштабных волн (известных сейчас как волны Россби) на верхнем уровне в полосе западных ветров. Уравнение (59) не содержит ни источников, ни стоков абсолютного вихря. При этом на каждом уровне точно сохраняется суммарная кинетическая энергия, а также полный абсолютный момент количества движения. Иными словами, не осуществляется перехода кинетической энергии в другие формы энергии. Поэтому невозможно использовать это уравнение для того, чтобы объяснить, почему имеется данное количество кинетической энергии и определенный момент количества движения или данное статистическое распределение абсолютного вихря. Включение в рассмотрение силы трения привело бы просто к диссипации всей кинетической энергии при некотором исходном вращении атмосферы как твердого тела. Поэтому, изучая общую циркуляцию, необходимо сохранять члены с горизонтальной дивергенцией скорости. Тем не менее, и в этом случае возможны существенные упрощения.
Геострофическое уравнение и геострофическая модель
При использовании примитивных уравнений отфильтровываются доставляющие много хлопот вертикально распространяющиеся акустические волны. Однако остаются еще другие виды движений, значимость которых для глобальной циркуляции сомнительна. Эти колебания также могут быть исключены при введении дальнейших приближений.
Кроме гидростатического равновесия, почти столь же отчетливо проявляющейся особенностью циркуляции в средних и высоких широтах является геострофическое равновесие — приближенный баланс между силой Кориолиса и силой горизонтального градиента давления. Хорошо знакомое всем геострофическое уравнение
описывающее этот баланс, получено путем приравнивания соответствующих членов в уравнении (40). Правая часть уравнения (61) часто рассматривается в качестве определения геострофического ветра Ug.
Точно так же, как кратковременные отклонения от гидростатического равновесия приводят к колебаниям около среднего состояния с периодами около минуты или менее, отклонения от геострофического равновесия ведут к колебаниям с периодами порядка нескольких часов или менее. Эти колебания — гравитационные волны, частным типом которых являются ранее упоминавшиеся внешние гравитационные волны. Так же, как и в отношении, вертикально распространяющихся акустических колебаний, часто считают, что гравитационные волны мало существенны для глобальной циркуляции, однако оснований для уверенности в том, что это допущение достаточно обосновано, гораздо меньше.
Во всяком случае, неудобно исследовать развитие циркуляции, наблюдая за развитием гравитационных волн, и поэтому напрашивается переход от примитивных уравнений к геострофическим. Можно было бы заменить восточную компоненту скорости в уравнении (44) на северную компоненту (61) или северную компоненту скорости в уравнении (45) на восточную с помощью того же уравнения (61). В любом случае получается замкнутая система уравнений, содержащая одно прогностическое уравнение. Однако подобная методика не кажется целесообразной. Для того чтобы выполнялся закон сохранения энергии, в первом случае кинетическую энергию К следовало бы определить как v 2 /2, а во втором — как u2/2. Ввиду того что обе горизонтальные компоненты скорости обладают значительной частью полной кинетической энергии, следует ожидать, что ни один из этих методов не приведет к результатам, близким к реальным. Точно так же можно было бы заменить обе компоненты скорости в уравнении (40) их выражениями (61) и сохранить в качестве единственного прогностического уравнения уравнение переноса энергии. Однако, по-видимому, в этом случае влияние вертикальных движений на поле температуры не было бы репрезентативно представлено.
Однако поскольку ветер U можно представить как сумму Ur и малого остаточного члена Ud, а также как сумму Ug и малого агеострофического отклонения U — Ug , следовательно, Ur представляет собой сумму Ug и бесспорно малого остатка (U— Ug ) — Ud . Геострофический вихрь ∆Ugk обычно является хорошей аппроксимацией вихря ζ, хотя он значительно завышается в интенсивных циклонах. С другой стороны, дивергенция геострофического ветра ∆•Ug всегда положительна в потоке, направленном к полюсу, и отрицательна в потоке, направленном к экватору, и мало сходна с дивергенцией δ, наблюдающейся в атмосфере.
Точно так же, как уравнение (8) для вертикальной составляющей скорости может быть заменено уравнением гидростатики (30), полученным в результате сохранения в уравнении (8) наиболее значимых членов, уравнение дивергенции (58) может быть заменено одним из вариантов геострофического уравнения
полученным при сохранении в уравнении (58) только линейных членов, не содержащих U<j. Точно так же, как подстановка уравнения (30) в уравнение (8) уменьшает число прогностических уравнений с пяти до трех, подстановка (62) в уравнение (58) сокращает число прогностических уравнений с трех до одного. Система уравнений больше не содержит прогностического уравнения для δ. Однако можно получить некоторое дополнительное диагностическое уравнение, продифференцировав уравнение (62) по р:
затем продифференцировав (63) по t и подставив соответствующие члены из уравнения вихря (57) и уравнения переноса энергии (41). Из этого нового так называемого ω-уравнения в принципе может быть получено решение для ω (а также δ или χ), выражающее их значения через остальные переменные.
В сущности, только соленоидальная компонента скорости стремится изменить поля ветра и температуры таким образом, чтобы было нарушено состояние геострофического равновесия. По-видимому, потенциальная компонента скорости ветра и соответствующее ей поле ω являются именно такими полями, которые, компенсируя влияние соленоидальной компоненты ветра, оказываются необходимыми для поддержания состояния геострофического равновесия.
Чтобы выполнялся закон сохранения энергии, необходимо ввести дальнейшие упрощения. Кинетическую энергию следует теперь определить как K = Ur Ur /2. Все нелинейные члены в уравнении вихря, за исключением членов, содержащих Ur, должны быть отброшены. Тогда уравнение вихря и уравнение переноса тепла примут вид:
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 96; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!