Задачи для самостоятельного решения.

1. Скорость прямолинейного движения тела задана уравнением

Найти путь, пройденный им за 6с от начала движения.

2. Скорость прямолинейного движения тела . Определить путь его за третью секунду.

3. Скорость тела пропорциональна пройденному пути. За первые 10с тело проходит 100м, за 15с – 200м. Какой путь пройдёт тело за время t?

4. Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20⁰С, и тело в течение 20 мин. Охлаждается от 100 до 60 С, то через сколько времени его температура понизится до 30⁰С?

5. Для сохранения спермы самцов – производителей, её на длительное время замораживают и держат при температуре -4⁰С. За сколько времени сперма охладится до 0⁰С, если её начальная температура 30⁰С и известно, что за 20мин. в термостате она охлаждалась до 20⁰С? Скорость охлаждения прямо пропорциональна разности между температурой тела и температурой в термостате.

6. Найти закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря.

7. Опытным путём установлено, что при брожении кормов скорость изменения массы (прироста) действующего фермента пропорциональна его наличному количеству. Найти закон изменения массы фермента в зависимости от времени.

8. Скорость сокращения мышцы описывается уравнением

где х₀ – полное сокращение мышцы;

- постоянная величина, зависящая от нагрузки;
х – сокращение мышцы в данный момент.

Найти закон сокращения мышцы, если х = 0 при t = 0.

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Задача 1.

Тело движется прямолинейно с ускорением

Найти закон движения тела, если в начальный момент движения, пройденный путь и скорость равны нулю.

Решение.

Решая данное уравнение, как уравнение типа , получаем

Теперь, используя начальные условия s(0) = 0, , находим: С₂ = 0, С₁ = 0.

Следовательно,

Задача 2.

Материальная точка массой m движется по прямой линии к центру О, притягивающему её силой , где r – расстояние от точки до центра. Движение начинается с состояния покоя при r=a. Найти время, за которое точка достигает центра.

Решение.

По условию задачи в любой момент времени t на точку действует сила . (Иначе сила = масса ускорение). Ускорение равно . Получаем дифференциальное уравнение: или - дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной и производной первого порядка искомой функции.

Обозначим . Тогда и последнее уравнение перепишем в виде дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя будем иметь: