Линейные дифференциальные уравнения первого

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Министерство образования и науки Красноярского края

КГБПОУ «Боготольский техникум транспорта»

Занятие по теме:

ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ

УРАВНЕНИЯМ

Методические указания для специальности

23.02.06 Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог

среднего профессионального образования базовой подготовки

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………

1.Дифференциальные уравнения первого порядка

с разделяющимися переменными…………………………..

2.Линейные дифференциальные уравнения первого

порядка……………………………………………………………….

Задачи для самостоятельного решения……………………………..

3.Дифференциальные уравнения второго порядка………….…

Задачи для самостоятельного решения……………………………..

Ответы…………………………………………………………………………

Литература……………………………………………………………………

ВВЕДЕНИЕ

Математическое описание самых разнообразных явлений, происходящих в природе, часто приводит к уравнениям, связывающим независимую переменную, искомую функцию (одной переменной) и производные этой функции. Такого рода уравнения называют обыкновенными дифференциальными уравнениями. (В дальнейшем будем называть их дифференциальными уравнениями). Если в дифференциальное уравнение входит только независимая переменная, функция и её первая производная, то уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка.

В общем виде его можно записать так:

если оно решается относительно производной, то его можно записать так:

Если дифференциальное уравнение содержит ещё и производную второго порядка от искомой функции, то оно называется дифференциальным уравнением второго порядка:

Основную трудность при решении задач, приводящих к дифференциальным уравнениям, представляет составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет универсального метода. Каждая задача требует индивидуального подхода, основанного на глубоком понимании соответствующего закона физики, химии, зоологии, биологии и умение переводить эти задачи на математический язык.

Рассмотрим задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Задача 1. Найти закон движения свободно падающего в пусто-

те тела, если пройденный путь начинает отсчитываться от момента времени t = 0 и начальная скорость падения равна нулю. Скорость в этом случае выражается, как известно, формулой .

Решение.

Скорость переменного движения есть производная по времени. Поэтому =gt (1.1)

Из этого уравнения следует, что функция s есть первообразная функции gt. Следовательно, или (1.2)

Для определения произвольной постоянной С используем то условие, что начало отсчёта пути совпадает с началом отсчёта времени, то есть при t = 0 s = 0. Подставляя эти значения в равенство (1.2), находим 0 = 0+С, то есть С = 0, и следовательно, окончательно получаем .

Задача 2. (Об охлаждении тела). Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура воздуха равна 20⁰С. Известно, что в течение 20 минут тело охлаждается от 100 до 60⁰С. Определить закон изменения температуры тела в зависимости от времени t.

Решение.

Согласно условию задачи имеем или

(1.3)

где k>0 – коэффициент пропорциональности и x = - 20.

Разделяя в уравнении (1.3) переменные и затем, интегрируя, получаем

что после потенцирования даёт .

Для определения С используем начальное условие x = 80 при

t =0:

Следовательно, или откуда

Коэффициент пропорциональности k определяем из дополни - тельного условия: при t = 20, = 60. Отсюда 60=20+80 или

= и, следовательно, .

Итак, искомая функция .

Задача 3. (О движении моторной лодки). Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью . На полном ходу её мотор выключается и через 40 с после этого скорость лодки уменьшается до Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Определить скорость движения лодки через 2 мин. после остановки мотора.

Решение.

На движущуюся лодку действует сила сопротивления воды

где >0 – коэффициент пропорциональности.

С другой стороны по второму закону Ньютона

и, значит, или .

Решим это дифференциальное уравнение, разделяя переменные и интегрируя, получим:

После потенцирования получаем:

Найдём С, используя начальное условие при t = 0:

Поэтому .

Теперь, используя дополнительное условие – при t = 40c = - получаем или

Следовательно, .

Отсюда искомая скорость равна:

Задача 4. (О потере заряда проводником). Изолированному проводнику сообщим заряд Вследствие несовершенства изоляции проводник постепенно теряет свой заряд. Скорость потери заряда в данный момент времени пропорциональна наличному заряду проводника. Какой заряд останется на проводнике по истечении времени t = 10 мин., если за первую минуту потеряно 100 Кл?

Решение.

Пусть в момент времени t заряд проводника равен . Тогда скорость потери заряда в этот момент времени равна - . По условию задачи или ,

где >0 – коэффициент пропорциональности.

Решим последнее уравнение – это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Разделив переменные и проинтегрировав, получим:

Потенцируя, последнее уравнение получим:

Используя начальное условие при t = 0, найдём С:

Следовательно,

Далее, используя дополнительное условие – при t = 1 мин. , имеем ,

Поэтому

Следовательно, через 10 минут на проводнике останется заряд

Задача 5. (Заряд конденсатора). Конденсатор ёмкостью С включается в цепь с напряжением U и сопротивлением R. Определить заряд конденсатора в момент времени t после включения.

Решение.

Сила I электрического тока представляет собой производную от количества электричества q, прошедшего через проводник, по времени t В момент t заряд конденсатора q и сила тока в цепи действует электродвижущая сила Е, равная разности между напряжением цепи U и напряжением конденсатора то есть

Согласно закону Ома

Поэтому

Отсюда

или ,

то есть, имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Решим его:

используя начальное условие x = СU при t=0, получим: или

Откуда

Задача 6. (Падение с парашютом). Составить закон движения парашютиста, масса тела которого равна m.

Решение.

При падении тел в безвоздушном пространстве их скорость равномерно увеличивается. Иначе обстоит дело, если падение происходит в воздухе. Будем для простоты считать, что сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна скорости падения. Сила F, действующая на тело массы m, равна (знак минус перед поставлен потому, что сила сопротивления воздуха направлена в сторону, противоположную направлению падения). Далее, так как по второму закону Ньютона , где - ускорение, получаем уравнение:

или

с начальным условием при t = 0. Отсюда, вводя обозначение , получаем с начальным условием при t = 0, то есть имеем уравнение с разделяющимися переменными и начальным условием при t = 0.

Значит или откуда

По прошествии некоторого времени станет очень малым числом и скорость падения будет почти в точности равна , то есть падение станет равномерным.

Теперь найдём закон движения парашютиста s = s(t). Для этого перепишем найденное выражение для скорости в виде

откуда

что после интегрирования

где С – производная постоянная. Для отыскания С заметим, что при t = 0 пройденный путь равен нулю, то есть при t = 0 имеем

S = 0.

Подставляя эти значения в последнее равенство, получаем

, т.е. . Итак, закон движения парашютиста имеет вид

Задача №7 (О прожекторе). Определить форму зеркала, обладающего тем свойством, чтобы все лучи, исходящие из источника света, помещённого в точке О на оси вращения, отражались бы зеркалом параллельно этой оси.

Решение.

Для решения задачи будем рассматривать плоское сечение зеркала, проходящее через ось вращения. Поместим источник света в начале координат, и пусть ось вращения совпадает с осью Ох (см. рис. 1). Обозначим через угол, образованный осью Ох и касательной AS в произвольной точке сечения М (х; у).

Наша цель найти форму сечения, то есть зависимость координаты у от координаты х: у=у(х). Ломанная ОМТ изображает путь луча, исходящего из источника света в точке О и отражающегося в точке М от поверхности зеркала параллельно оси Ох. Проведём нормаль МN и опустим из точки М на ось Ох перпендикуляр МР. Так как (угол падения равен углу отражения), имеем .

Следовательно, NOM – равнобедренный и поэтому ОМ = ОN. Кроме этого, по построению . Можно переходить к составлению дифференциального уравнения:

ОN = РN – PO, PN= ytg , PO = -x, ON=OM= ,

ON = ytg + x = .

Учитывая геометрический смысл производной: , получаем для определения зависимости у от х дифференциальное уравнение первого порядка

Для нахождения решения уравнения преобразуем его следующим образом. Умножаем обе части равенства на 2dx:

или

Подстановкой приводим уравнение к уравнению с разделяющимися переменными .

которое преобразуется к виду

Отсюда находим .

Заменяя переменную z её выражением через х и у, получаем

Упрощая полученное уравнение возведением в квадрат обеих его частей, получаем

Таким образом, искомая кривая – парабола с параметром р = С и вершиной, лежащей на расстоянии влево от начала координат (см. рис. 2). Следовательно, искомая отражательная поверхность – параболоид вращения.

Линейные дифференциальные уравнения первого

Порядка.

Задача №1.

Скорость v, путь s и время t связаны уравнением . Найти закон движения, если при t = 0 s = 2.

Решение:

Так как , то подставляя это значение v в данное уравнение, получаем дифференциальное уравнение движения:

или - это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим его методом Бернулли, применив подстановку , где , ; , получаем

Сгруппировав члены, содержащие u и вынеся за скобки общий множитель, получим

Выражение в скобках приравняем к нулю:

Для отыскания u имеем уравнение:

По условию при t=0 s=2 и поэтому С=2. Таким образом, искомый закон движения .

Задача2.

В помещении для крупного рогатого скота работают 2 вентилятора, каждый из которых в минуту доставляет по 60м³чистого воздуха, содержащего 0,01% углекислоты. Полагая, что в коровнике объёмом 1600м³ с начальным содержанием углекислоты в 0,2% находится 120 коров, каждая из которых выдыхает в минуту 0,1м³ воздуха с 5% углекислоты, определить наличие углекислоты в 1м³ воздуха после двухчасового содержания животных в помещении.

Решение.

Пусть содержание углекислоты в 1м³ воздуха в момент времени t есть y(t) (в дальнейшем y). Скорость изменения концентрации равна приращению углекислоты у, делённому на соответствующий промежуток времени t; у определяется углекислотой: