Формы линейных уравнений установившегося режима и их решение
В качестве известных независимых переменных в уравнениях установившегося режима могут выступать задающие токи узлов и напряжение базисного узла. В этом случае решение уравнения (3.28) может быть записано в виде
. | (3.29) |
Здесь Z – матрица узловых сопротивлений.
Численное решение системы уравнений (3.28) выполняется методом Гаусса или другим методом решения системы линейных алгебраических уравнений.
В случае, когда если известны мощности в узлах сети – задающие мощности S i, то токи можно вычислить приближенно , (i = 1,…,n – 1). Задающие мощности также как и токи складываются из мощности генерации и мощности нагрузки:
. | (3.30) |
Другой приближенный подход связан с представлением задающих токов через напряжения и проводимости , где Y Si – проводимость нагрузки или/и генерации (схема замещения). Для i-о узла имеем:
(3.31) |
Объединив подобные члены, получим
(3.32) |
где в элемент Y ii входит проводимость Y Si. Знак перед этой проводимостью зависит от того, какая мощность преобладает в узле: плюс, если нагрузка и минус, если генерация. В матричной форме записи:
. | (3.33) |
Решение матричного уравнения (3.29) запишется в виде:
. | (3.31) |
Комплексную матрицу узловых проводимостей Y иногда представляют в блочной форме через ее вещественную G и мнимую B составляющие и тогда система уравнений (3.33) становится системой с вещественными величинами:
|
|
. | (3.35) |
После перемножения двучленов в (3.31), будем иметь:
. | (3.36) |
Приравняем отдельно вещественные и мнимые части полученного уравнения и получим два матричных уравнения с вещественными величинами:
(3.37) |
или в компактной форме:
. | (3.38) |
Решение (3.38) запишется в виде:
. | (3.39) |
Пример. Рассчитать напряжения в узлах и токи в ветвях схемы электрической сети, граф которой изображен на рис. 3.7. Исходные данные для расчета и расчет представлен в системе Mathcad.
Модель электрической сети
Нелинейные уравнения установившегося режима
Так как во многих случаях расчеты ведутся при заданных мощностях нагрузок и генерации, то их следует ввести в уравнения установившегося режима.
Мощность в трехфазной сети в симметричных режимах выражается суммарной мощностью всех трех фаз:
. | (3.40) |
В матричной форме это выражение можно записать, используя операцию диагонализации матрицы U. Матрица diag{U} есть квадратная матрица, в которой элементы матрицы U расположены по главной диагонали, а все остальные элементы равны нулю. Тогда
|
|
. | (3.41) |
Уравнение установившегося режима
записано для фазных токов и напряжений. Умножим обе части этого уравнения на и применим к величинам этого уравнения операцию сопряжения, получим
(3.42) |
В левой части этого уравнения после умножения на напряжения стали линейными.
Умножим левую и правую части уравнения (3.42) слева на матрицу diag{U}, получим
. | (3.43) |
Система уравнений (3.43) является системой нелинейных уравнений установившегося режима. В зависимости от формы представления комплексных величин применяют две основные формы этой системы уравнений.
В начале рассмотрим алгебраическую форму записи. Для i-о узла имеем:
. | (3.44) |
После перемножения двучленов и разделения уравнения на два уравнения с вещественными величинами, получим систему 2(n – 1) алгебраических уравнений.
(3.45) |
Здесь i = 1,…,n – 1.
Тригонометрическая форма нелинейных уравнений установившегося режима может быть получена, если комплексные величины в уравнении (3.39) записать в виде:
, | (3.46) |
тогда
|
|
. | (3.47) |
Уравнение (3.47) в тригонометрической форме запишется как
. | (3.48) |
и после разделения на два вещественных уравнения
(3.49) |
Обычно вместо угла yij используют дополняющий до 90° угол aij. aij = 90 - yij, yij = 90 - aij.
Тогда cos(di – dj – yij) = cos(di – dj – 90° + aij), а с учетом четности функции косинус cos(di – dj – 90°+ aij) = cos(90° – di + dj – aij). Имея в виду, что cos(90° – b) = sin(b), получим: cos(90° – di + dj – aij) = sin(di – dj + aij).
Аналогично sin(di – dj – yij) = sin(di – dj – 90 + aij) = –sin(90° – di + dj – aij), в силу нечетности функции синус. Так как sin(90° – b) = cos(b), получим:
–sin(90° – di + dj – aij) = –cos(di – dj + aij). Подставляя полученные соотношения в (3.49), будем иметь:
(3.50) |
В полученной системе нелинейных уравнений установившегося режима искомыми переменными являются модули и фазовые углы, напряжений, в то время как в уравнениях (3.45) неизвестными являются вещественная и мнимая составляющие напряжений.
Пример. Рассчитать напряжения в узлах и потоки мощности в ветвях схемы сети, граф которой изображен на рис. 3.7. Исходные данные для расчета и расчет представлен в системе Mathcad.
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 153; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!