Узловые уравнения установившегося режима

Рис. 3.7. Пример графа электрической сети

Рассмотрим пример направленного графа электрической сети, изображенного на рис. 3.7. Для удобства записи в матричной форме параметров ветвей присвоим каждой ветви ее порядковый номер (на рис. 3.7 курсив). Составим матрицу соединений M для этого графа

Умножим эту матрицу на матрицу токов ветвей, будем иметь:

(3.10)

Полученное соотношение является первым законом Кирхгофа в матричной форме записи

(3.11)

Так как к узлам графа электрической сети еще присоединены другие поперечные ветви с ЭДС и проводимостью шунта, то задающий ток в (3.11) включает в себя также токи данных ветвей

(3.12)

Здесь: J_Г – матрица токов генерации (ветви с ЭДС), которые определяются через мощности генерации; J_Н – матрица токов нагрузки, которые определяются через мощности нагрузки (имеет обратное направление – от узла); J_Y – матрица токов в проводимости шунтов, которые зависят от проводимости шунта из матрицы Y_N и напряжения в узле из матрицы U (также имеет обратное направление – от узла, так как моделирует потребление мощности).

Умножим транспонированную матрицу соединений М^T на матрицу узловых напряжений, получим:

(3.13)

или

(3.14)

По закону Ома в матричной форме записи имеем

(3.15)

или

(3.16)

Подставим в (3.11) выражение для матрицы токов ветвей (3.12) и затем (3.14), получим

(3.17)

Введем обозначение

(3.18)

тогда (3.17) приобретет вид

(3.19)

Полученное соотношение является уравнением узловых напряжений (потенциалов) в матричной форме записи. Матрицу Y называют матрицей узловых проводимостей электрической сети. Рассмотрим структуру этой матрицы, для чего выполним матричные перемножения в (3.18). Заметим, что обратная матрица сопротивлений ветвей легко получается в силу своего диагонального вида – ее элементы суть обратные величины к сопротивлениям ветвей.

В начале перемножим первые две матрицы матричного произведения:


	.	(3.20)

Полученную матрицу умножим справа на матрицу M^T. В результате получим:

(3.21)

Из полученной матрицы можно сделать следующие выводы о вычислении ее элементов:

1) Элементы, расположенные на диагонали матрицы, вычисляются как сумма проводимостей ветвей, подходящих к соответствующему узлу:

(3.22)

где Y _ij – диагональный элемент матрицы Y;

Z _j – сопротивление j-й ветви;

w_i – множество номеров узлов, связанных с i-м узлом.

2) Недиагональные элементы равны проводимости ветви, имя которой состоит из номеров узлов, соответствующих номеру строки и номеру столбца, на пересечении которых находится данный элемент, и взятому с противоположным знаком. Матрица Y является симметричной матрицей.

(3.23)

Запишем узловое уравнение для узла с номером i:

(3.24)

Объединив подобные члены, получим, что в диагональные элементы матрицы Y войдут дополнительные слагаемые Y_Ni:

(3.25)

т. е. диагональный элемент будет равен сумме проводимостей всех подходящих к i-у узлу ветвей, включая поперечную ветвь – шунт Y_Ni.

Задающие токи узлов в (3.19) будут состоять только из токов генерации и токов нагрузки.

В случае отсутствия связей с нейтральной плоскостью N система уравнений (3.19) не имеет единственного решения, так как в этом случае определитель матрицы Y равен нулю. Сумма всех задающих токов в такой сети равна нулю:

(3.26)

Следовательно, среди всех n узлов можно выделить узел, например, с номером n, ток в котором равен:

(3.27)

Для уравнений узловых напряжений это означает, что одно уравнение лишнее, т. е. зависит от остальных уравнений и может быть получено через сумму всех остальных уравнений. Так как ток в этом узле может быть получен из баланса токов в сети (3.27), то его называют балансирующим. Обычно это шины мощной электростанции или системы.

Таким образом, из системы (3.19) исключается одно уравнение и тогда получается система независимых линейных уравнений порядка n – 1. Однако, так как число неизвестных напряжений по-прежнему равно n, то в одном из узлов следует задать напряжение по величине и фазе, так, чтобы все напряжения вычислялись относительно этого известного напряжения. Такой узел в сети называется базисным. Обычно фазу напряжения базисного узла принимают равной нулю, т. е. вектор напряжения базисного узла совмещают с действительной осью. Остальные узлы называют независимыми узлами.

Во многих случаях балансирующий узел и базисный узел совмещают, и в дальнейшем будем считать, что это один и тот же узел.

Таким образом, с исключением уравнения для базисного балансирующего узла с номером n, будем иметь систему уравнений (3.19) с числом уравнений n – 1, однако в эти уравнения будет входить слагаемое с заданным напряжением базисного узла.

Изменим номер базисного балансирующего узла. Пусть его номер есть 0 (ноль). Тогда уравнение (3.19) приобретет следующий вид:

(3.28)

где Y₀ – матрица проводимостей ветвей, связывающих независимые узлы с базисным балансирующим узлом;

U₀ – напряжение базисного узла (скаляр).

Матрица узловых проводимостей в (3.28) имеет порядок n – 1 и определятся через матрицу инциденций M, в которой нет одной строки, соответствующей балансирующему узлу.

Необходимо заметить, что во всех уравнениях, где одновременно присутствуют токи и напряжения: (3.15), (3.16), (3.17), (3.19), (3.24) и (3.28) напряжения даны в фазных значениях, хотя индекс (буква «ф») для простоты не записывался. Эти же уравнения можно считать записанными и для линейных напряжений, однако токи будут увеличенными в раз и для вычисления истинных токов их следует уменьшать в .

Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 97; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!