Закон Ома для однородного участка цепи

МОДУЛЬ 2.8

ГЛАВА 5 Постоянный электрический ток

Электрический ток. Сила тока. Плотность тока

Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов. Носителями тока могут быть электроны (в металлах), а также положительные и отрицательные ионы (в электролитах), либо другие заряженные частицы.

При наличии электрического поля на хаотическое движение носителей тока накладывается упорядоченное движение носителей – возникает ток.

Силой тока называется заряд, переносимый через некоторую поверхность в единицу времени.

. (5.1)

Единицей силы тока является ампер (А).

Ток, не изменяющийся во времени, называется постоянным:

. (5.2)

Плотность тока Электрический ток может быть распределен по поверхности, через которую он протекает, неравномерно. Поэтому для более детальной характеристики тока вводят вектор плотности тока . Модуль этого вектора численно равен отношению силы тока через элементарную площадку, расположенную в данной точке перпендикулярно направлению движения носителей, к ее площади

. (5.3)

За направление вектора принимается направление скорости упорядоченного движения положительных носителей либо направление, противоположное скорости упорядоченного движения отрицательных носителей.

Пусть в единице объема проводника содержится положительных носителей тока, имеющих заряд ( ).

Если скорость упорядоченного движения носителей равна , то через поверхность пройдет за время заряд , где (рис.5. 1).

Рис.5.1

Следовательно, величина плотности тока будет равна

Учитывая, что - величина векторная, получим вектор плотности тока:

Для отрицательных носителей тока получается формула:

( ; поэтому направления и противоположны).

В общем случае, когда в проводнике присутствуют носители тока обоих знаков, формула для плотности тока имеет вид:

. (5.4)

Поле вектора можно изобразить графически с помощью линий тока (линий вектора ), которые проводят так же, как и линии вектора .

Найдем силу тока , текущего через любую интересующую нас поверхность . Для этого нужно разбить на элементарные площадки .

Согласно (5.3)

Рис.5.2

Из рис.5.2 следует, что , где - угол между нормалью и

вектором . Тогда:

где - вектор элементарной площадки, - проекция вектора на нормаль к .

Просуммировав токи через все площадки, получим силу тока, текущего через поверхность :

. (5.5)

Отсюда следует, что сила тока равна потоку вектора плотности тока через заданную поверхность (см. формулу (1.16)).

Уравнение непрерывности в интегральной и дифференциальной форме

Рассмотрим в некоторой среде, в которой течет ток, замкнутую поверхность , охватывающую объем (рис.5.3).

Закон сохранения заряда требует, чтобы весь ток, который вышел из этого объема, был равен скорости убывания заряда , содержащегося в данном объеме:

Рис.5.3

или

. (5.6)

Это соотношение называют уравнением непрерывности.

В случае стационарного (постоянного) тока , т.е. распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным, тогда .

Следовательно, для постоянного тока

; (5.7)

иначе говоря, линии вектора в этом случае нигде не начинаются и нигде не заканчиваются, линии постоянного тока всегда замкнуты (рис.5.4).

Рис.5.4

Мы говорим, что в случае постоянного тока поле вектора не имеет источников.

Дифференциальная форма уравнения непрерывности

Представим и правую часть (5.6) как

Преобразуем левую часть (5.6) по теореме Остроградского-Гаусса (см. формулу 1.28а):

В результате получим

или

. (5.7)

Это означает, что дивергенция вектора в некоторой точке равна убыли плотности заряда в единицу времени в той же точке.

Согласно (5.7) в точках, которые являются источниками вектора , происходит убывание заряда.

Отсюда вытекает условие стационарности (условие для постоянного (стационарного) тока, когда ):

или

. (5.8)

Оно означает, что в случае постоянного тока вектор не имеет источников.

Электродвижущая сила (ЭДС)

Поддержание постоянного тока в проводнике требует поддержания постоянной разности потенциалов на его концах. Источниками этой постоянной разности потенциалов могут быть гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы и др. Рассмотрим, например, гальванический элемент. Он состоит из двух металлических пластин, называемых электродами, погруженных в растворы (электролиты). Так элемент Даниэля состоит из цинковой пластины, погруженной в раствор цинкового купороса (ZnSO₄), а медная – в раствор медного купороса (CuSO₄).

За счет химических процессов, протекающих в результате растворения материала электродов в электролитах на цинковом электроде поддерживается отрицательный заряд, а на медном – положительный. Источник тока изображается в электрических цепях следующим образом (рис. 5.5).

Рис.5.5 Рис.5.6

Замкнем источник тока на внешнее сопротивление (рис.5.6). Положительные носители тока движутся от «+» к «-» на внешнем участке цепи. Перемещение этих носителей внутри источника тока от «-» к «+» возможно только с помощью сил неэлектрического происхождения, называемых сторонними силами. Следовательно, для поддержания постоянного тока необходимы сторонние силы, которые перемещают заряды против действия кулоновских сил. Физическая природа сторонних сил может быть различной. Они могут быть обусловлены химическими процессами в гальванических элементах, в аккумуляторах заряды переносят диффузные силы, в электростатических машинах заряды снимаются и переносятся механическими силами, электромагнитный генератор приводится в движение паром или водяной турбиной.

Сторонние силы характеризуются работой, которую они совершают над носителями тока. Величина, равная работе сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС) , действующей в замкнутой цепи или на ее участке. Следовательно,

. (5.9)

Размерность совпадает с размерностью потенциала, т.е. Вольт (В). Таким образом, –работа непотенциального стороннего поля, локализованного внутри источника.

Сторонняя сила равна

где - напряженность поля сторонних сил.

Тогда работа сторонних сил на некотором участке 1-2 цепи будет равна

Отсюда ЭДС, действующая на данном участке цепи, равна:

. (5.10)

Кроме сторонних сил, на носители тока действуют силы электростатического поля . Следовательно, результирующая сила равна:

Работа, совершаемая этой силой над зарядом на участке 1-2 цепи, определяется выражением:

. (5.11)

Напряжением (или падением напряжения) на данном участке цепи называется величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами над единичным положительным зарядом, то есть

. (5.12)

Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, называется однородным. Для однородного участка

, (5.13)

то есть напряжение совпадает с разностью потенциалов на концах участка цепи.

Участок цепи, на котором действуют сторонние силы, называется неоднородным.

Закон Ома для однородного участка цепи

Закон Ома, открытый экспериментально, гласит: сила тока, протекающего по однородному проводнику, пропорциональна напряжению на проводнике:

, (5.14)

где – электрическое сопротивление проводника. Единицей сопротивления служит Ом (Ом).

Электрическое сопротивление зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он сделан. Для однородного цилиндрического проводника

, (5.15)

где – длина проводника, – площадь его поперечного сечения, – удельное электрическое сопротивление. Выражается в Ом-метрах (Ом·м), зависит от материала проводника и его температуры. Например, для меди и алюминия при ~10^-8 Ом·м.

Получим закон Ома в дифференциальной форме. Для этого найдем связь между плотностью тока и полем в одной и той же точке проводника.

Выделим мысленно в проводнике элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными векторам и (рис.5.7).

Рис.5.7

Сопротивление цилиндра равно .

Через поперечное сечение течет ток силы . Напряжение, приложенное к цилиндру, равно . Подставим эти значения в формулу (5.14), получим:

, отсюда

, или в векторном виде:

, (5.16)

где – удельная электрическая проводимость или электропроводность вещества. Единица, обратная Ому, называется сименсом (См, См = Ом^-1). Следовательно, единицей является сименс на метр (См/м).

Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 50; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!