Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа

Модуль 1.8

ГЛАВА 8 Первое начало термодинамики

Внутренняя энергия термодинамической системы

Внутренняя энергия какого-либо тела слагается из кинетической энергии поступательного и вращательного движения молекул, кинетической и потенциальной энергий колебательного движения атомов в молекулах, потенциальной энергии взаимодействия между молекулами и внутримолекулярной энергии (т.е. энергии электронных оболочек атомов и внутриядерной энергии). Кинетическая энергия тела как целого и его потенциальная энергия во внешнем силовом поле во внутреннюю энергию тела не входят.

Внутренняя энергия является функцией состояния системы. Это означает, что она не зависит от того, каким путем мы привели систему в данное состояние. При изменении состояния приращение внутренней энергии определяется только конечным и начальным значением внутренней энергии и не зависит от процесса, который перевел систему из одного состояния в другое.

Работа, совершаемая газом при изменении его объема

Рассмотрим газ, находящийся в цилиндре, закрытом поршнем (рис 8.1).

Рис.8.1

Элементарная работа, совершаемая газом при перемещении поршня на , равна

, где - сила, с которой газ действует на поршень сечением . Отсюда

, (8.1)

где .

При поднятии поршня давление газа может уменьшаться. Поэтому работа, совершаемая газом при изменении объема от до , должна быть представлена в виде интеграла:

(8.2)

Мы знаем, что геометрическая интерпретация интеграла (8.2) – это площадь под кривой (рис.8.2),а эта площадь зависит от вида кривой 1-2, т.е. от процесса.

Рис.8.2

Если в результате изменений система возвращается в исходное состояние, то говорят, что она совершила круговой процесс или цикл. На диаграмме такой процесс имеет вид замкнутой кривой (рис.8.3). Работа, совершаемая системой за цикл, численно равна площади внутри цикла , взятой со знаком плюс, если обход по кривой совершается по часовой стрелке, и со знаком минус, если – против часовой стрелки.

Знак работы зависит от знака : на тех участках процесса, где , работа , на тех же участках, где , тогда .

Рис.8.3

Из рис.8.3 следует, что , причем . Работа , т.е. . Таким образом, работа за цикл равна , т.е. численно равна площади цикла. При обратном направлении цикла знаки работ изменяются на обратные.

Первое начало термодинамики

Изменение внутренней энергии может происходить за счет двух различных процессов: совершения над телом работы внешними силами и передачи ему теплоты . Работу, совершаемую данным телом (газом) над внешними телами будем обозначать буквой . Будем иметь в виду, что .

Совершение работы сопровождается перемещением внешних тел, действующих на систему (так, например, ведет себя поршень в цилиндре с газом).

Теплота определяет количество энергии, переданное от одного тела другому посредством теплопередачи.

Первое начало термодинамики формулируется следующим образом: количество теплоты , сообщенное системе, идет на приращение ее внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами.

Уравнение имеет вид:

, (8.3)

где .

Все входящие в (8.3) величины являются алгебраическими, т.е. могут иметь как положительные, так и отрицательные знаки.

Если , то это значит, что тепло отводится от системы, если , то работа производится над системой. Приращение внутренней энергии может иметь любой знак, в частности быть равной нулю.

Подчеркнем, что можно говорить о приращении внутренней энергии , но нельзя говорить о приращении работы или теплоты. Говорят только о количестве и в том или ином процессе, т.е. и являются функциями процесса.

Первое начало термодинамики в дифференциальной форме имеет вид

, (8.4)

где - элементарное количество теплоты, - элементарная работа, - бесконечно малое приращение внутренней энергии.

С учетом (8.1) это уравнение можно записать в виде

(8.5)

В такой форме этот закон наиболее удобно использовать для решения задач.

Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа

Теплоемкостью тела (газа) называют количество теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один кельвин:

, (8.6)

Эта величина, как и зависит от процесса. Без указания процесса выражение (8.6) не имеет смысла. Еще раз: теплоемкость является функцией процесса.

Теплоемкость единицы массы вещества называется удельной теплоемкостью:

, (8.7)

Мы будем пользоваться в основном молярной теплоемкостью – теплоемкостью одного моля вещества , которая равна

, (8.8)

. Здесь - количество вещества или число молей, - молярная масса.

Удельная и молярная теплоемкости связаны соотношением

. (8.9)

Особое значение имеют теплоемкости для двух процессов: при постоянном объеме и при постоянном давлении . При постоянном объеме , и согласно (8.4) имеем

( ). (8.10)

В термодинамике подобные выражения принято записывать в виде

. (8.11)

Символ производной, снабженный индексом , указывает на то, что при дифференцировании функции по объем следует считать постоянным.

Опыт показывает, что во многих случаях теплоемкость в широком интервале температур почти не меняется. Если считать, что совсем не зависит от , то из (8.11) следует, что

Проинтегрировав это соотношение, получим выражение для внутренней энергии моля идеального газа

. (8.12)

Внутренняя энергия массы газа будет равна

. (8.13)

Напишем уравнение (8.5) для моля газа, предположив, что теплота сообщается газу при постоянном давлении:

, (8.14)

где - объем моля.

Молярная теплоемкость при постоянном давлении равна:

( ).

Согласно формуле (8.11), ( ).

Учтя это и использовав применяемый в термодинамике способ записи формул, придем к соотношению:

. (8.15)

Если процесс изобарический ( ), то из уравнения состояния следует, что .

Подстановка этого значения производной в (8.15) приводит к соотношению

. (8.16)

Отсюда следует физический смысл универсальной газовой постоянной : равна работе, совершаемой молем идеального газа при повышении его температуры на один кельвин при постоянном давлении.