Для самостоятельного решения.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.Е.АЛЕКСЕЕВА»
Институт ядерной энергетики и технической физики
ФИЗИКА НА ГРАНИЦЕ ШКОЛЫ И ВУЗА
Часть 2
Нижний Новгород
2016 г.
Составители: А.В. Волохин, Е.Г. Дегтерёв, Г.М. Соколова, Р.В. Щербаков, А.Н. Яшина
УДК 530.3
Краткие теоретические сведения по курсу общей физики для студентов первого и второго курсов НГТУ, приступающих к изучению соответствующего университетского курса /НГТУ; сост.: А.В.Волохин, Е.Г.Дегтерёв, Г.М. Соколова, Р.В. Щербаков, А.Н. Яшина. Н.Новгород, 2016..
Редактор Э.Б. Абросимова
Научный редактор А.А. Радионов
Подп. в печ. 01.2016 . Формат 60×84 1/16. Бумага газетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 5,0. Уч.-изд. л. 5. Тираж 100 экз. Заказ
___________________________________________________________
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева.
Типография НГТУ. 603950, Нижний Новгород, ул. Минина, 24.
© Нижегородский государственный
технический университет
им. Р.Е. Алексеева, 2016
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ГЛАВА 9: Электростатика.
Еще в глубокой древности было известно, что при определенных условиях некоторые тела притягиваются друг к другу, некоторые – отталкиваются. Сейчас такую способность тел взаимодействовать на расстоянии называют электрический заряд, обозначают q и в системе СИ измеряют в кулонах (Кл). Поскольку существует взаимодействие двух типов (притяжение и отталкивание), то условно считают, что заряды также бывают двух разновидностей – положительные и отрицательные. При этом разноименные заряды притягиваются друг к другу, а одноименные отталкиваются.
|
|
|
Опытным путем установлено, что электрический заряд дискретен, то есть заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда e (e = 1,6·10 ‑19 Кл). Частицы вещества – электрон и протон являются соответственно носителями элементарных отрицательного и положительного зарядов.
Все тела в природе способны электризоваться, то есть приобретать электрический заряд. Всякий процесс заряжения сводится к разделению зарядов, при котором на одном из тел (или части тела) появляется избыток положительного заряда, а на другом (или на другой части тела) – избыток отрицательного заряда. При этом общее количество зарядов обоих знаков, содержащихся в телах, не изменяется: эти заряды только перераспределяются между телами.
|
|
|
Из обобщения опытных данных был установлен фундаментальный закон природы – закон сохранения заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы (системы, не обменивающейся зарядами с внешними телами) остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы.
Следующим шагом попытались экспериментально выяснить закон для силы взаимодействия между заряженными телами. Оказалось, что эта сила зависит кроме прочего от формы и размеров заряженных тел. Чтобы исключить влияние этих факторов, используется идеальная модель – точечный заряд (материальная точка, обладающая зарядом).
Получившийся закон называют законом Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам q1 и q2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними
. (9.1)
Направлена эта сила вдоль прямой, соединяющей заряды, такие силы
| q1 > 0 |
| q2 > 0 |
| F1-2 |
| F2-1 |
| Рис. 1 |
| r |
называют центральными (рис. 1). Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора системы единиц и в СИ равен k = 9·10 9 м/Ф, где фарад (Ф) – единица электрической емкости (смотри главу 8). В системе СИ коэффициент k удобнее представлять в виде дроби
|
|
|
, (9.2)
где ε0 = 8,85·10 ‑12 Ф/м называется ‑ электрическая постоянная.
Отметим, что закон Кулона (9.1) справедлив не только для материальных точек, ни для тел со сферически симметричным распределением заряда (сфера, шар), тогда под r понимают расстояние между центрами тел.
Поскольку заряды взаимодействуют на расстоянии, не касаясь друг друга, необходимо придумать «посредника» в их взаимодействии. Поэтому стали считать, что каждый из зарядов создает вокруг себя в пространстве силовое поле, которое будет действовать на любой заряд, помещенный в него. Если заряды неподвижны, то такое поле называют электростатическим. Дальнейшие исследования показали, что электрическое поле представляет собой реально существующий объект, например, переменное поле способно существовать само по себе, без зарядов. По современным представлениям поле реально существует и наряду с веществом является одной из форм существования материи, посредством которого осуществляются определенные взаимодействия между макроскопическими телами или частицами, входящими в состав вещества. На данном этапе мы будем рассматривать электростатические поля.
|
|
|
Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля используется пробный заряд. Это точечный положительный заряд такой величины, которая не искажает исследуемое поле (не вызывает перераспределения зарядов, создающих поле). Раз появился новый объект исследования – электростатическое поле, необходимо ввести количественные характеристики его описания. Таких характеристик две: силовая и энергетическая.
Силовую характеристику называют напряженность. Это сила, с которой электрическое поле действует на пробный заряд, помещенный в данную точку поля, деленная на величину этого заряда (то есть, действующая на единицу заряда)
. (9.3)
| q |
| A |
| E |
| + |
| q |
| A |
| E |
| ‑ |
| Рис. 2 |
Напряженность, как и сила, является векторной характеристикой поля, измеряется в Н/Кл. Направление вектора
совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положительного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор направлен к заряду (рис. 2). Из формул (9.1) и (9.3) следует, что напряженность поля, создаваемого точечным зарядом по величине равна
. (9.4)
Графически электростатическое поле удобно изображать с помощью линий напряженности – линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора (рис. 3). Линиям напряженности при
| 1 |
| 2 |
| Е1 |
| Е2 |
| Рис. 3 |
писывается направление, совпадающее с направлением вектора напряженности. Так как в каждой точке пространства вектор напряженности имеет только одно определенное направление, то линии напряженности никогда не пересекаются. Для однородного поля (когда вектор напряженности в любой точке одинаков по величине и направлению) линии напряженности представляют собой параллельные прямые, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 4). Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности – радиальные прямые, выходящие из заряда, если он положителен (рис. 5), и входящие в него, если заряд отрицателен (рис. 6).
| E = const |
| Рис. 4 |
| + |
| Рис. 5 |
| ‑ |
| Рис. 6 |
Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и величину напряженности электрического поля, условились проводить их с определенной густотой: число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора
.
Энергетическую характеристику называют потенциал. Это потенциальная энергия, которой обладает пробный заряд, помещенный в данную точку поля, деленная на величину этого заряда (то есть, действующая на единицу заряда)
. (9.5)
Потенциал, как и энергия, является скалярной характеристикой поля, измеряется в Дж/Кл. В системе СИ эту единицу измерения называют вольт (В). Введенная ранее единица напряженности поля Н/Кл = Н·м/(Кл·м) = Дж/(Кл·м) = В/м. При этом если заряд, создающий поле, положителен, то и его потенциал имеет знак плюс. И наоборот, если заряд, создающий поле, отрицателен, то и его потенциал имеет знак минус. Если соединить между собой все точки поля, имеющие одинаковый потенциал, то они образуют собой поверхность, называемую эквипотенциальной.
Так как напряженность и потенциал с разных точек зрения описывают один и тот же объект – электрическое поле, то они взаимосвязаны. В этом смысле напряженность представляет собой быстроту изменения потенциала при переходе из одной точки поля в другую (то есть с расстоянием)
. (9.6)
Знак минус здесь указывает, что вектор напряженности всегда направлен в сторону наиболее быстрого уменьшения потенциала. Для однородного поля ( 
) эта связь упрощается
, (9.7)
здесь расстояние 
отсчитывается вдоль силовых линий электростатического поля. Для поля точечного заряда из (9.6), используя (9.4), можно получить выражение для потенциала поля, создаваемого точечным зарядом
. (9.8)
Из выражения (9.7) следует 
и, умножив обе части на минус единицу, получим
. (9.9)
Величину, стоящую в левой части называют разность потенциалов. Из (9.9) видно, что на самом деле вычислить можно не сам потенциал, а разность потенциалов между какими-либо двумя точками электростатического поля. Поэтому необходимо выбрать какую-либо произвольную точку, потенциал в которой принять равным нулю. Тогда потенциалы всех остальных точек будут отсчитываться относительно нулевой. Такая процедура называется нормировкой потенциала. В физике обычно принимают равным нулю потенциал точек, находящихся на бесконечно большом удалении от заряда. В инженерных расчетах удобнее считать потенциал Земли равным нулю.
Используя закон Кулона (формулы (9.4) и (9.8)), можно рассчитать напряженность и потенциал поля, создаваемого одним точечным зарядом. Если зарядов, создающих поле несколько, то общее поле равно сумме полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Это утверждение называется принципом суперпозиции полей. Для напряженности поля, создаваемого системой из N точечных зарядов, это векторная сумма
. (9.10)
Для потенциала это алгебраическая (с учетом знака) сумма
. (9.11)
Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электростатические поля любой системы зарядов. Если заряд распределяется по телу конечных размеров непрерывно, то его необходимо мысленно разбить на бесконечно малые части, каждую из которых можно считать точечным зарядом. Используя закон Кулона ((9.4) или (9.8)) найти создаваемые каждой из них бесконечно малые напряженность 
или потенциал dφ. Затем просуммировать, используя принцип суперпозиции, учитывая, что сумма бесконечно малых представляет собой интеграл:
и 
. (9.12)
Суммирование (интегрирование) ведется по всему заряженному телу – по длине, по площади или по объему, в зависимости от способа распределения заряда.
Рассматривая электростатические поля, до сих пор мы полагали, что между зарядами ничего нет. Но, как правило, это не так, чаще всего между зарядами располагается вещество, состоящее из электрически нейтральных частиц (атомов). В свою очередь атомы состоят из положительно заряженных ядер и расположенных вокруг них отрицательных электронов. Электронейтральность атомов обеспечивается равенством положительного и отрицательного зарядов. При внесении вещества во внешнее электрическое поле на заряды начинает действовать сила: на положительные – вдоль силовых линий, на отрицательные против. Под действием этой силы заряды смещаются, причем в разных типах веществ это смещение различно. По этому признаку вещества делят на два основных вида: проводники и диэлектрики.
| + |
| + |
| + |
| + |
| + |
| + |
| ‑ |
| ‑ |
| ‑ |
| ‑ |
| ‑ |
| ‑ |
| E0 |
| E ' |
| F |
| F |
| Рис. 7 |
В проводниках происходит неограниченное смещение зарядов внутри тела, такие заряды называются свободными, процесс их смещения называется электрический ток. Проводниками, например, являются все металлы. Рассмотрим процессы, происходящие в проводнике под действием внешнего электростатического поля. Возьмем простейшее электростатическое поле – однородное и поместим в него проводник простой формы – параллелепипед, расположенный перпендикулярно к силовым линиям (рис. 7). Напряженность внешнего поля E0. Первоначально заряды проводника равномерно «размешаны» по всему объему таким образом, что заряд любого объема, выделенного внутри проводника, равен нулю. После внесения проводника в электростатическое поле E0 на заряды начинают действовать силы – на положительные вдоль поля, на отрицательные противоположно. Поскольку заряды свободные, то они начнут двигаться и скапливаться на противоположных гранях проводника. Таким образом, грани приобретут заряды противоположного знака, называемые индуцированными, и возникнет внутреннее поле проводника E ', силовые линии которого направлены противоположно внешнему. Согласно принципу суперпозиции (9.10) напряженность суммарного поля в проводнике равна
.
Или для модулей с учетом противоположного направления
.
Процесс разделения зарядов будет продолжаться до тех пор, пока на них действует сила. Движение зарядов прекратится, когда сила, а, значит, и напряженность поля внутри проводника станут равны нулю:
и 
. (9.13)
Разделение зарядов будет происходить в течение очень короткого промежутка времени, практически мгновенно, поэтому можно говорить, что условие (9.13) является основным свойством проводников, то есть внутри проводников электростатическое поле отсутствует.
Для нахождения потенциала внутри проводника воспользуемся связью его с напряженностью (9.6) 
. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы потенциал внутри проводника был одинаков во всех точках, то есть поверхность проводника является эквипотенциальной
| Е = 0 |
| Рис. 8 |
. (9.14)
Это второе основное свойство проводников.
Надо отметить, что условия (9.13) и (9.14) будут выполняться также и для полости, находящейся внутри проводника (рис. 8). Если внутри такой полости расположить какой-либо заряд, то на него со стороны внешних полей силы действовать не будут. На этом основана электростатическая защита – экранирование тел, например измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей.
Рассмотрим уединенный проводник, то есть проводник, который удален от других тел и зарядов. Если в какой-либо точке проводника сообщить ему заряд q1, то этот заряд практически мгновенно распределится по поверхности проводника таким образом, чтобы выполнились условия (9.13) и (9.14). Проводник при этом приобретет потенциал φ1. Если дополнительно сообщить проводнику заряд, то он также распределится по поверхности и заряд проводника возрастет до q2. Потенциал также увеличится и станет равным φ2, оставшись при этом постоянным во всех точках. Важным свойством проводника является пропорциональность его заряда и потенциала, то есть отношение заряда проводника к его потенциалу не изменяется
.
Это позволяет ввести характеристику проводника, определяющую его способность накапливать заряд
, (9.15)
называемую электроемкостью (или просто емкостью) проводника. Электроемкость проводника зависит от его размеров, формы, а также от расположенных рядом других проводников и диэлектриков. Емкость проводника не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала. Единицу электроемкости называют фарад: Ф = Кл/В.
Для того, чтобы проводник обладал большой емкостью, он должен иметь очень большие размеры. На практике, однако, необходимы устройства, обладающие способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды, иными словами, обладать большой емкостью. Эти устройства получили название конденсаторов.
Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. На емкость конденсатора не должны влиять окружающие тела, поэтому проводники имеют такую форму, при которой поле, создаваемое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Это возможно, если обкладки представляют собой две параллельные плоскости, два коаксиальных цилиндра, две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические. Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой, Поэтому заряды на противоположных обкладках равны по модулю и противоположны по знаку.
Емкостью конденсатора называют отношение его заряда к разности потенциалов между обкладками
. (9.16)
Для плоского конденсатора, между обкладками которого отсутствует диэлектрик, можно получить:
, (9.17)
где S – площадь каждой обкладки, d – расстояние между обкладками.
Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением – разностью потенциалов между обкладками конденсатора, при которой происходит пробой – электрический разряд между обкладками. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств среды между ними и расстояния между обкладками.
| С n |
| С2 |
| С1 |
| + |
| + |
| + |
| ‑ |
| ‑ |
| ‑ |
| A |
| B |
| Рис. 9 |
Для увеличения емкости и пробивного напряжения конденсаторы объединяют в батареи, при этом используется их параллельное и последовательное соединение.
1. Параллельное соединение конденсаторов (рис. 9). У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов между обкладками одинакова и равна φА ‑ φВ. Если емкости отдельных конденсаторов С1, С2, …, С n, то, согласно (9.16), их заряды равны
. . . . . . . . . . . . .
,
а заряд батареи конденсаторов
.
Полная емкость батареи
, (9.18)
то есть при параллельном соединении конденсаторов их общая емкость равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.
2.
| С1 |
| С2 |
| С n |
| + |
| ‑ |
| + |
| ‑ |
| + |
| ‑ |
| Рис. 10 |
Последовательное соединение конденсаторов (рис. 10). Последовательно соединенные конденсаторы имеют независимо от их емкости одинаковые заряды, а разность потенциалов на зажимах батареи
,
где для любого из рассматриваемых конденсаторов, согласно (9.16),
.
С другой стороны,
.
Значит,
и, следовательно,
, (9.19)
то есть при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные емкостям. Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов результирующая емкость всегда меньше наименьшей емкости, используемой в батарее.
Диэлектрик, в отличие от проводника, образован системой связанных зарядов, то есть зарядов, которые не способны перемещаться внутри объема тела. В качестве модели такого заряда используем диполь. Он представляет собой два точечных заряда, одинаковых по величине и противоположных по знаку, расположенных на небольшом расстоянии друг от друга (рис. 11). Каждую молекулу диэлектрика можно рассматривать как такой диполь. Ввиду небольших размеров молекул, можно считать, что заряды внутри диэлектрика расположены равномерно и заряд единицы объема всегда равен нулю. При отсутствии внешнего электрического поля диполи вследствие теплового движения ориентированы в пространстве хаотично. Однако ситуация изменится при внесении диэлектрика во внешнее электростатическое поле. Рассмотрим однородное электростатическое поле напряженностью Е0. Поместим в это поле диэлектрик в форме параллелепипеда (рис. 12). Тогда на каждый положительный заряд диполей будет действовать сила F, направленная вдоль силовых линий Е0, на каждый отрицательный – противоположно. Так как эти силы равны по величине, они не могут сдвинуть диполь вдоль силовых линий, они могут его повернуть положительной стороной вдоль поля, отрицательной – против. Таким образом, внешнее поле оказывает на диполи ориентирующее действие. Естественно, что тепловое движение препятствует полной ориентации молекул, но в результате совместного действия обоих факторов (внешнее электрическое поле и тепловое движение) возникает преимущественная ориентация диполей по полю. Эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и ниже температура. Такой процесс ориентации молекул в диэлектрике под действием внешнего электрического поля называется поляризацией.
| + |
| ‑ |
| Рис. 11 |
В результате поляризации внутри объема диэлектрика избыточный заряд не появляется, однако, на правой грани диэлектрика появится избыток положительного заряда, на левой – такое же по величине количество отрицательного. Эти заряды называют связанными. Внутри диэлектрика возникнет поле связанных зарядов напряженностью Е ', направленное противоположно внешнему Е0. И общая напряженность согласно принципу суперпозиции
.
Или, с учетом противоположного направления векторов,
Е = Е0 – Е '.
| + |
| ‑ |
| + |
| ‑ |
| + |
| ‑ |
| + |
| ‑ |
| + |
| ‑ |
| + |
| ‑ |
| + |
| ‑ |
| F |
| F |
| E0 |
| E ' |
| Рис. 12 |
В отличие от проводников, не все поле Е0 компенсируется полем связанных зарядов, диэлектрики ослабляют поле, но не до нуля. Во сколько раз уменьшается напряженность электрического поля в диэлектрике, показывает диэлектрическая проницаемость ε. Она количественно характеризует способность диэлектрика поляризоваться в электрическом поле. Коэффициент в законе Кулона (соотношения (9.1), (9.2), (9.4), (9.8)), если заряды располагаются в диэлектрической среде, делится на диэлектрическую проницаемость
. (9.20)
Наличие диэлектрика между обкладками конденсатора увеличивает его емкость в ε раз. И для емкости плоского конденсатора получается выражение
. (9.21)
Электростатические силы взаимодействия консервативны, следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией. Взаимную энергию 
двух неподвижных точечных зарядов q1 и q2 можно найти из определения потенциала (9.5), используя выражение (9.8) для потенциала точечного заряда
. (9.22)
Если зарядов не два, а больше, необходимо по формуле (9.22) посчитать потенциальные энергии всех пар зарядов, а затем найти их сумму.
Если заряд не точечный, а распределен, например, по поверхности проводника, то энергия заряженного проводника рассчитывается по формулам
, (9.23)
здесь C, q и φ – емкость, заряд и потенциал проводника соответственно.
Аналогично энергию заряженного конденсатора находят как
, (9.24)
где C, q и U – емкость, заряд и разность потенциалов на конденсаторе соответственно.
Примеры решения задач.
| А |
| В |
| С |
| D |
| L |
| L |
| L/2 |
| q |
| q |
| Рис. 13 |
9.1. Два равных по величине положительных точечных заряда q расположены в вакууме в точках А и В на расстоянии 2L друг от друга. Какой точечный заряд нужно поместить в точку С, расположенную посередине отрезка АВ, чтобы потенциал в точке D был равен нулю?
Исходя из принципа суперпозиции (9.11), потенциал поля в точке D, создаваемый всеми тремя зарядами,
,
здесь Q – искомый заряд, помещенный в точку С. Отсюда находим
.
9.2. Два точечных заряда, находясь в воздухе на расстояни 5 см друг от друга, взаимодействуют с силой, равной 120 мкН, а в некоторой непроводящей жидкости на расстоянии 10 см — с силой, равной 15 мкН. Какова диэлектрическая проницаемость жидкости?
Запишем для первого и второго случаев закон Кулона (9.1):
,
.
Из первого уравнения
.
Подставив это во второе, получим
.
Выразим диэлектрическую проницаемость жидкости
.
9.3. Два одинаковых маленьких металлических шарика заряжены положительными зарядами q и 4q. Центры шариков находятся на расстоянии r друг от друга. Шарики привели в соприкосновение. На какое расстояние х после этого нужно развести их центры, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?
При соприкосновении проводящих шариков часть заряда с одного перейдет на второй и, так как шарики одинаковые, после взаимодействия их заряды станут равными. В силу закона сохранения заряда суммарный заряд шариков 5 q при этом не изменится и разделится пополам. Заряд каждого шарика станет равным 2,5q. Используя закон Кулона (9.1), приравняем силы отталкивания шариков до и после соприкосновения
.
Выразим искомое расстояние х
.
| Рис. 14 |
9.4. Три маленькие одинаковые бусинки массой m каждая, имеющие одинаковые заряды q, могут скользить без трения по очень длинной горизонтальной спице. Какую скорость будут иметь крайние бусинки относительно неподвижной средней на очень большом расстоянии друг от друга, если в начальный момент они были неподвижны, и расстояние между ними было равно L?
Так как трение отсутствует, то энергия шариков в начальном и конечном положениях одинакова. В начальном это потенциальная энергия кулоновского взаимодействия, на бесконечно большом расстоянии она полностью переходит в кинетическую энергию крайних шариков. В силу симметрии Кинетические энергии крайних шариков одинаковы, а центрального шарика равна нулю (остается неподвижным). Закон сохранения энергии
.
Отсюда выражаем скорость
.
9.5. Два шарика радиусами R1 и R2, заряженные до потенциалов j1 и j2 соответственно, находятся на большом расстоянии друг от друга. Шарики соединяют длинным тонким проводником. Найти общий потенциал шариков после соединения.
Потенциалы j1 и j2 шариков до соединения равны, согласно (9.8),:
,
где q1 и q2 – заряды первого и второго шариков до соединения. После соединения часть заряда одного шарика перейдет на второй до выравнивания их потенциалов. Их общий потенциал будет равен
,
где 
и 
‑ заряды первого и второго шариков после соединения. Из этих формул можно выразить начальные и конечные заряды шариков. В силу закона сохранения заряда суммарный заряд шариков после их соединения не изменился
.
Подставим сюда выражения для зарядов
.
Отсюда
.
9.6. Плоский конденсатор, заполненный диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e = 4, зарядили до энергии 10 Дж и отключили от источника напряжения. Чему станет равна энергия конденсатора, если из него вынуть диэлектрик?
При удалении из конденсатора диэлектрика, согласно (9.21), его емкость уменьшится в ε раз. Так как конденсатор был отключен от источника, то его заряд при этом не изменяется и энергию необходимо рассчитывать формуле (9.23)
,
из которой следует, что при уменьшении емкости в ε раз, энергия конденсатора увеличится в ε раз и станет равна 
.
Для самостоятельного решения.
| А |
| В |
| С |
| D |
| L |
| L |
| L/2 |
| q |
| q |
| Рис. 15 |
)
9.8. Два маленьких одинаковых металлических шарика заряжены положительным зарядом 5q и отрицательным зарядом - q и находятся на некотором расстоянии друг от друга в вакууме. Шарики привели в соприкосновение и развели на прежнее расстояние, поместив их в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью e = 2. Как изменился модуль силы взаимодействия шариков? (уменьшился в 2,5 раза)
9.9. Три одинаковых заряда q = 10 нКл закреплены в вершинах квадрата со стороной а = 1,0 см. Чему равна работа сил электростатического поля после поочередного освобождения зарядов? (2,4×10 –4 Дж)
9.10. Конденсатор электроемкостью С подключен к источнику напряжения. Затем последовательно с данным конденсатором подключили другой, такой же электроемкости С. Как при этом изменится энергия электрического поля? (уменьшится в 2 раза)
9.11. Заряженный конденсатор емкостью С1, подключили параллельно к незаряженному конденсатору емкостью С2=4 мкФ. При этом напряжение на батарее конденсаторов стало равно 100 В, а ее энергия 2,5×10 ‑2 Дж. Определите емкость конденсатора С1. (1,0 мкФ)
Контрольные вопросы.
9.1. Закон Кулона. Для каких тел он справедлив?
9.2. Напряженность электростатического поля. Направление вектора напряженности. Единица измерения напряженности в СИ. Линии напряженности.
9.3. Потенциал электростатического поля. Единица измерения потенциала в СИ. Эквипотенциальные поверхности.
9.4. Принцип суперпозиции полей.
9.5. Электростатическое поле в проводниках.
9.6. Электростатическое поле в диэлектриках. Диэлектрическая проницаемость.
9.7. Емкость уединенного проводника и емкость конденсатора.
9.8. Соединения конденсаторов.
9.9. Энергия проводника и конденсатора.
9.10. Три одинаковых конденсатора соединены один раз последовательно, другой раз параллельно. При каком способе соединения емкость больше и во сколько раз?
ГЛАВА 10: Постоянный электрический ток.
В электродинамике – разделе учения об электричестве, в котором рассматриваются явления и процессы, обусловленные движением электрических зарядов, ‑ важнейшим является понятие электрического тока. Электрическим током называется любое упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов. В проводниках под действием приложенного внешнего электрического поля 
свободные электрические заряды перемещаются: положительные – вдоль поля, отрицательные – против поля, то есть в проводнике возникает электрический ток, называемый током проводимости.
Для возникновения и существования электрического тока необходимо выполнение двух условий. 1) Наличие свободных носителей тока ‑ заряженных частиц, способных перемещаться упорядоченно (в металлах это электроны); 2) Наличие внешнего электрического поля. За направление тока условно принимают направление движения положительных зарядов. Если в металлах носителями тока являются отрицательные электроны, то считают, что ток течет в направлении, противоположном их движению.
Количественной характеристикой электрического тока является сила тока I – скалярная физическая величина, определяемая количеством заряда, проходящего через сечение проводника в единицу времени. Термин сила тока не совсем удачен, поскольку не имеет к силам никакого отношения. Это скорее скорость протекания заряда по проводнику. И, как и любая скорость, математически представляет собой производную по времени
. (10.1)
Ток, не изменяющийся с течением времени называется постоянным или стационарным. Для постоянного тока
, (10.2)
где q – электрический заряд, проходящий за время t через поперечное сечение проводника.
Единица силы тока называется ампер (А) и, исходя из (10.1), 1 А = 1 Кл/1 с. Ампер является одной из основных единиц системы СИ. Например, кулон определяется как ампер в секунду.
Если через разные точки сечения проводника проходит различное количество зарядов, то пользуются понятием плотность тока. Это физическая величина, определяемая силой тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока. В отличие от силы тока, плотность тока является вектором, совпадающим по направлению с вектором скорости направленного движения положительных носителей тока
, (10.3)
здесь 
‑ элементарная площадка, перпендикулярная скорости направленного движения носителей тока, 
‑ сила тока через нее, 
‑ единичный вектор (орт) скорости, задающий направление вектора 
. Единица плотности тока ‑ ампер на метр в квадрате (А/м 2).
|
|
| φ1 |
| φ2 |
| Рис.16 |
, то потенциалы на его противоположных сторонах различны (φ1 > φ2).В этом случае положительные свободные заряды будут перемещаться от большего потенциала к меньшему, то есть потечет электрический ток. Это очень быстро приведет к выравниванию потенциала во всех точках проводника и прекращению электрического тока. Поэтому для существования постоянного тока необходимо наличие в цепи устройства, в котором будет происходить перемещение зарядов от меньшего потенциала к большему под действием сил неэлектрического происхождения (любых, кроме кулоновских). Такие устройства называются источниками э. д. с., а силы в них действующие – сторонними.
Природа сторонних сил может быть различной: химическая, механическая, магнитная и так далее. Роль источника тока в электрической цепи, образно говоря, такая же, как роль насоса, перекачивающего жидкость в гидравлической системе. Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические заряды движутся внутри источника э. д. с. против сил электростатического поля, благодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепи течет постоянный электрический ток.
| проводник |
| источник э. д. с. |
| Рис. 17 |
| + |
| ‑ |
. (10.4)
Наличие у проводника сопротивления R обусловлено тем, что проводник не пустой и заряды, двигаясь по проводнику, сталкиваются с атомами и теряют свою скорость. Формула (10.4) позволяет установить единицу сопротивления – ом (Ом): 1 Ом – сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет постоянный ток 1 А. Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы, а также от вида материала, из которого проводник изготовлен. Для однородного линейного проводника (такие проводники называются резисторами) сопротивление R прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:
, (10.5)
где ρ – коэффициент пропорциональности, характеризующий материал проводника. Он называется удельным электрическим сопротивлением. Его единица измерения ом-метр (Ом·м). Величину, обратную удельному сопротивлению,
, (10.6)
называют удельной электрической проводимостью вещества проводника.
Для выяснения смысла понятия напряжение сопоставим три физические величины, похожие друг на друга: разность потенциалов φ1 – φ2, электродвижущая сила (э. д. с.) Ε и напряжение U. Они похожи, так как все три измеряются в одних и тех же единицах – вольтах (В), но между ними есть существенная разница. Разность потенциалов представляет собой работу по переносу единицы заряда, совершаемую электрическим полем (кулоновскими силами)
.
Электродвижущая сила Ε к силам отношения не имеет, а представляет собой также работу по переносу единицы заряда, но совершаемую сторонними силами внутри источника э. д. с.
. (10.7)
И, наконец, напряжение U объединяет в себе две предыдущих величины, то есть представляет собой работу по переносу единицы заряда, совершаемую всеми силами, как сторонними, так и кулоновскими
. (10.8)
По этой причине в различных ситуациях закон Ома (10.4) можно записывать по-разному.
1)
| φ1 |
| φ2 |
| R |
| Рис. 18 |
| I |
. (10.9)
Формулу (10.9) называют законом Ома для однородного участка цепи.
| ‑ |
| + |
| R |
| Ε, r |
| Рис. 19 |
. Тогда 
и закон Ома
. (10.10)
Формулу (10.10) называют законом Ома для замкнутой цепи.
| φ1 |
| φ2 |
| R |
| Рис. 20 |
| I |
| Ε, r |
| ‑ |
| + |
. (10.11)
| φ1 |
| φ2 |
| R |
| Рис. 21 |
| I |
| Ε, r |
| + |
| ‑ |
или Ε и закон Ома записывается:
. (10.12)
Числитель берется по модулю, так как сила тока I по своему смыслу является положительной величиной. Закон Ома в виде ((10.11) или (10.12)) называется законом Ома для неоднородного участка цепи.
Часто участок цепи может содержать несколько резисторов, каким-либо образом соединенных между собой. Как и в случае конденсаторов (см. предыдущую главу) возможны два способа соединения резисторов: последовательное (рис. 22) и параллельное (рис. 23). В каждом случае можно
| R1 |
| R2 |
| Rn |
| Рис. 22 |
(10.13)
При параллельном соединении складываются величины, обратные сопротивлениям
. (10.14)
| R1 |
| R2 |
| R3 |
| Ε1, r1 |
| Ε2, r2 |
| Ε3, r3 |
| ‑ + |
| ‑ + |
| + ‑ |
| A |
| B |
| Рис. 24 |
| I1 |
| I2 |
| I3 |
| R1 |
| R2 |
| Rn |
| Рис. 23 |
Удобнее рассматривать применение правил Кирхгофа на примере какой-либо конкретной электрической цепи (рис. 24), параметры резисторов и источников э. д. с., указанные на рисунке, будем считать известными. Сначала договоримся об используемой терминологии. Любая точка разветвления цепи, в которой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом. На рис. 24 таких точек две: А и В. Участок цепи от одного узла до другого называется ветвь. В рассматриваемом примере цепь содержит три ветви. Количество различных токов в цепи равно количеству ветвей, здесь мы имеем три тока: I1, I2, I3. Замкнутые участки цепи (например, A-R1-Ε1-B-Ε2-R2) называются замкнутый контур. Данная цепь включает в себя три замкнутых контура. Решение задачи о нахождении токов в цепи начинается с произвольной расстановки всех направлений протекания токов (рис. 24).
Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю, при этом токи, входящие в узел берутся с одним знаком (например, плюс), выходящие – с другим (минус). Для узла А получим:
.
Первое правило Кирхгофа представляет собой закон сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не могут накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными. Количество уравнений, которые можно составить по первому правилу Кирхгофа для данной цепи всегда на одно меньше, чем число узлов в этой цепи. В рассматриваемом примере: два узла – одно уравнение.
Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома для разветвленных цепей. В любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов I на сопротивления R соответствующих элементов этого контура равна алгебраической сумме э. д. с. Ε, входящих в этот контур. Сначала произвольно выбирают так называемое направление обхода контура. На рис. – по часовой стрелке. При этом произведение IR считается положительным, если произвольно выбранное направление тока через данный элемент R совпадает с выбранным произвольно направлением обхода, если противоположно – то отрицательным. Знак э. д. с. в сумме также определяется правилом: э. д. с. считается положительной, если направление, в котором она хотела бы перемещать заряды (от минуса к плюсу), совпадает с направлением обхода контура. Если наоборот, то отрицательной. Для контура A-R1-Ε1-B-Ε2-R2 запишем
.
Для контура A-R2-Ε2-B-Ε3-R3:
.
Количество уравнений, которые можно записать по второму правилу Кирхгофа, также ограничено числом независимых замкнутых контуров в электрической цепи. При этом независимым является контур, который нельзя представить как сумму других. В нашем примере из трех имеющихся замкнутых контуров только два являются независимыми, поэтому число записанных уравнений также два.
Решив систему из трех получившихся уравнений , можно найти величины всех интересующих нас токов.
Таким образом, при расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:
1. Выбрать произвольное направление токов во всех ветвях цепи; действительное направление токов определяется после решения задачи: если искомый ток получается положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным – его истинное направление противоположно выбранному.
2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; произведение IR положительно, если направление тока на данном участке совпадает с направлением обхода, и наоборот, э. д. с., действующие по направлению обхода, считаются положительными, против ‑ отрицательными.
3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э. д. с. рассматриваемой цепи);каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.
Заряды, проходя по проводнику, совершают работу. Рассмотрим однородный проводник, к концам которого приложено напряжение U. За время dt через сечение проводника переносится заряд dq = Idt. Работа тока при этом равна
. (10.15)
Если сопротивление проводника R, то, используя закон Ома (10.4), получим
. (10.16)
Отсюда следует, что мощность тока
. (10.17)
Если ток проходит по неподвижному металлическому проводнику, то вся работа тока идет на нагревание проводника и, по закону сохранения энергии,
. (10.18)
Выражение (10.18) называется законом Джоуля-Ленца.
Если сила тока в проводнике не изменяется с течением времени (постоянный ток), то количество теплоты, выделяющейся в проводнике за промежуток времени ∆t, можно найти как
. (10.19)
Примеры решения задач.
10.1. При замыкании источника тока на внешнее сопротивление 4 Ом в цепи протекает ток 0,3 А, а при замыкании на сопротивление 7 Ом протекает ток 0,2 А. Определите ток короткого замыкания этого источника.
| ‑ |
| + |
| R1(R2) |
| Ε, r |
| Рис. 25 |
| ‑ |
| + |
| Ε, r |
| Рис. 26 |
Воспользуемся законом Ома для замкнутой цепи трижды: два раза источник э. д. с. замыкается на сопротивления R1 и R2 (рис. 25) и один раз накоротко (без внешнего сопротивления) (рис. 26).
,
,
.
Решая совместно первые два уравнения определим значения э. д. с. и внутреннего сопротивления источника:
,
.
Подставив эти значения в третье уравнение, найдем ток короткого замыкания
.
10.2. У электрической плитки, содержащей две одинаковых спирали, возможны два режима работы. В первом режиме спирали соединяются последовательно, а во втором режиме ‑ параллельно. Как при этом соотносятся электрические мощности плитки?
Поскольку оба раза плитка подключается к одному и тому же напряжению U, будем выражать ее мощность по формуле 
. Здесь R – сопротивление спиралей: в первом режиме R1 = 2R, во втором – R2 = R/2. В первом случае мощность 
, во втором ‑ 
. Отсюда соотношение между мощностями Р2 = 4Р1.
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 118; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!