Краткий анализ основ геометрий 31 страница
Отметим, что в построении фигуры (рис. 58) не использовались ни окружность, ни касательная и даже не упоминается поляра 6, хотя понятно, что она всегда находится между А и В. И тем не менее четвертая гармоническая точка найдена. Рассмотрим фигуру, полученную Дезаргом «произвольным» проведением двух прямых и вовсе не случайно копирующую выстроенную выше (рис. 57) вертикальную проективную пирамиду. Чтобы убедиться в этом, поменяем нумерацию Дезарга на использованную выше индексацию (рис. 57). Итак, на фигуре рис. 58 изображена наклонная проективная пирамида 183 (АSВ) с точкой опоры S, образованная параллельными Дезарга, и опирающаяся на отрезок 1, 3 (АВ) базисной прямой. Прямая, соединяющая точки 8 (S) и 2 (N) – наклоненная поляра (SN –рис. 57), проходящая правее центра окружности. Линия p, на которой расположены четыре гармонические точки – базисная прямая.
Все основные элементы совпадают. Но у Дезарга имеются еще три прямые, которые отсутствуют на рис. 57. Это 5, 9, и 13. именно пересечение последней базисной прямой и определяют местоположение четвертой гармонической точки Д (М). В структуре наклонной пирамиды эти прямые образуют разностороннюю трапецию А11,12,В, у которой прямые 5 и 9 пересекаясь на поляре 2, оказываются диагоналями данной трапеции. Появление в структуре пирамиды, не отмеченной трапеции, свидетельствует об отсутствии в проективной геометрии этой фигуры, отметим – принципиально важного элемента для понимания динамической сути всей проективной геометрии. Если же пирамиду «выпрямить», а это равнозначно перемещению поляры в центр окружности (рис. 55.), то верхнее основание трапеции «повернется» и станет параллельно нижнему основанию. Если же поляру отодвинуть от центра, то верхнее основание наклонится (рис.58) А сама трапеция окажется полным аналогом трапеции АС`Д`В (рис. 57). Если же теперь в трапеции АС´Д´В провести диагонали, то они пересекутся на поляре и данная трапеция окажется аналогом трапеции А11,12,В.
|
|
|
Таким образом «случайно» проведенная прямая 5 становится не случайным элементом трапеции – одной из ее диагоналей, а прямая 9, соединяющая точку В и точку 11 – другой диагональю. Следовательно, точки поляры являются местом пересечения прямых – диагоналей, исходящих из А и В. Прямая же, соединяющая их пересечение с вертикальными параллельными Дезарга, верхнее основание трапеции, становится как бы «крышей», «надвинутой» на диагонали, и завершающей построение одной трапеции. Но через поляру может проходить множество диагоналей, и потому в пирамиде потенциально «запрятано» неограниченное число трапеций. Рассмотрим, что же дает построение нескольких пропорционированных трапеций в симметричной пирамиде (рис. 59).
|
|
|
Проведем базисную прямую и из точки О, как из центра радиусом R = 5 см и опишем полуокружность АВ. Из центра полуокружности и из точек А и В восстановим перпендикуляры. Получим тройку параллельных прямых Евклида. Примем, что средняя прямая – поляра, а точка О есть одновременно точка N, и на любой высоте от базиса, например, на высоте 28 см, поставим на поляре несобственную точку S,
в которой пересекаются две параллельные Дезарга. Через точку пересечения поляры и окружности проведем касательную до пересечения со сторонами АS и SВ в точках Со и До, получим крышу – верхнее основание трапеций АСоДоВ. Соединив эти точки с точками А и В убедимся, что диагонали АДо и ВСо пересекаются на поляре. Через точку пересечения поляры с прямой СоДо проведем еще две диагонали АД, ВС, и, соединив их прямой СД, имеем трапецию АСДВ и т.д. Процесс построения трапеций в пирамиде бесконечен как к точке S, так и к базисной прямой, поскольку точка опоры S, как и базисная прямая недостижимы. Между ними и ближайшими к ним крышами всегда остается опорный или базисный промежуток возрастающей плотности. Мы ограничимся построением крыши С4Д4, и для выявления пропорциональности высот между крышами, спустимся аналогичным образом еще на крышу ближе к базисной прямой проведя прямую СкДк.
|
|
|
Отметим главное отличие в пространстве проективной геометрии от плотностного пространства статико-динамической, ярко проявляющееся в этом построении. Чем ближе к точке S находятся крыши пирамид, тем меньше расстояние между ними. То же самое происходит и с крышами, «приближающимися» к базисной прямой. Чем ближе они к ней, тем меньше расстояние между ними. И данное построение можно продолжать бесконечно. Именно это обстоятельство свидетельствует об изменении плотности пространства между точкой опоры S и базисной прямой таким образом, что где-то между ними должна существовать нейтральная зона одинаковой плотности пространства. Убедимся в этом, замерив, расстояние между крышами. Оно оказывается снизу вверх равным в см: 2,3; 3,5; 4,5; 4,8; 3,9; 2,8 … и т.д. Максимальное расстояние наличествует между третьей и четвертой крышами. Оно и свидетельствует о том, что в данной области пространство имеет наименьшую плотность. Неравенство расстояний между крышами, например, в статической геометрии предполагает диспропорциональность этих расстояний. Однако проверка пропорциональности вурфным методом W(а, b, с) по уравнению:
|
|
|
W(а,b,с) = (а + b)(b + с) ⁄b(а + b + с) (4.2)
W1 = (2,3 + 3,5)(3,5 + 4,5) ⁄3,5(2,3 + 3,5 + 4,5) = 1,287
W2 = (3,5 + 4,5)(4,5 + 4,8) ⁄4,5(3,5 + 4,5 + 4,8) = 1,292;
W3 = 1,277; W4 = 1,299,
с точностью до третьего знака доказывает ее наличие. Это свидетельствует о том, что имеет место не геометрическое неравенство, а физическое равенство расстояний между крышами. (Базисный ряд русской матрицы). Это обстоятельство и определяет форму пропорционирования фигур статико-динамической геометрии. Для пропорционирования используется не двучастное деление пропорционируемых отрезков, а трехчастное. Пропорционируется не численная величина двух расстояний, а величина трех соседних отрезков.
Убедившись в наличии пропорциональности высот трапеций с параллельными крышами, построим трапеции с наклонными крышами соединив прямыми, например, точку С4 с точкой Д3, точку С3 с точкой Д2 и т.д., и продолжим лучи от наклоненных крыш до пересечения с базисной прямой (рис. 59). Лучи всех крыш оказываются в одной точке М, которая для симметричных пирамид всегда отстоит от точки В ровно на длину диаметра, и таким образом пропорция (4.1) оказывается сохраненной.
Увеличим наклон крыш соединив точку С4 с точкой Д2, точку С3 с точкой Д1 и т.д. и продолжим их лучи до пересечения с базисной прямой (лучи к базису на рис. 59.). На ней появляется новая гармоническая точка М1, отсекающая ровно 1⁄3 длины ВМ. Все больше и больше увеличивая наклон крыш, получаем фиксированные гармонические точки серии М2, М3, М4 и т.д. Естественно, что теперь пропорция (4.1) между отрезками диаметра и точкой М1 не будет соблюдаться:
АN ⁄ NВ ≠ АМ1 ⁄ М1В,
поскольку изменилось расстояние до М1 и для появления новой пропорции должно измениться местонахождение точки N.
Для получения месторасположения точек серии N необходимо одновременно с увеличением, например, наклона крыш с С4 на Д2 проводить лучи из точки С4 через середину крыши С2Д2, до пересечения с базисной прямой, что обусловливает получение гармонической точки N1, Точка N1 отсекает ровно 1⁄3 диаметра и уравнение (4.1) сохраняет свой вид в следующей форме:
АN1 ⁄ N1В = АМ1 ⁄ М1В (4.3)
Для сохранения пропорций каждой гармонической точки серии М: М2, М3, М4 и т.д. аналогичным образом из точки С4 через середину крыши С1Д1, СД, СоДо и т.д. проводятся прямые до пересечения с базисной прямой в точках N2, N3, N4 и т.д. Эту серию гармонических точек можно назвать спутницами поляры N.
Естественно, что между каждой из крыш можно построить множество других взаимосвязанных наклонных крыш, получая такое же множество новых фиксированных гармонических точек на базисной прямой. При построении точек, аналогов точкам серии М, слева от пирамиды, симметрично вырисовывается та же картина их расположения на базисе.
Определив расположение множества гармонических точек, рассмотрим, какие изменения произойдут при перемещении точки опоры S пирамиды по высоте, например, в точку Sо на поляре с уменьшением по высоте, или в точку опоры S1 с отклонением по вертикали вправо. Поскольку все параметры серий точек М и N от пирамиды с точкой Sо на поляре, уменьшенной по высоте, аналогичны параметрам высокой пирамиды, остановимся на последнем варианте и построим (штрихованную) наклонную пирамиду с точкой опоры S1. Проведем, через точку пересечения полярой окружности, диагонали первой трапеции и, аналогично предыдущему, построим семь этажей крыш. Хотя пирамида деформировалась и наклонилась, крыши, тоже деформировавшись, как и все элементы пирамиды, сохранили горизонтальное положение. Это свидетельствует о том, что в горизонтальном направлении плотность пространства между точкой опоры и базисной прямой не изменяется по горизонтали.
Построим наклоненные крыши, соединив прямыми С4´Д3´, С3´Д2´, С2´Д1´ и т.д., и продолжим лучи от них до пересечения с базисной прямой. Лучи всех крыш сойдутся в точке М. Соединим углы крыш через этаж С4´Д2´, С3´Д1´, и т.д. и снова продолжение лучей крыш сойдется на базисе в точке М1. Ситуация повторится и для точек М2, М3 и т.д., и для точек N1, N2, N3 и т.д. находящихся внутри пирамиды, и для точек, расположенных симметрично слева от пирамиды и от поляры. И можно полагать, что статичность бесконечных рядов гармонических точек находящихся на базисе, сохраняется при любом перемещении точки S над базисной прямой. Проверим, изменилась ли пропорциональность в расстояниях между крышами. Замерим эти расстояния. Они снизу вверх оказываются равными в см: 1,7; 2,6; 3,3; 2,6; 1,7. Т.е. высоты всех крыш наклоненной пирамиды, опирающейся на тот же базис, отличаются от высот пирамиды вертикальной. И плотность пространства по высоте пирамиды так же не остается неизменной. Она становится большей, поэтому расстояние между крышами уменьшается. Но и в этом случае уменьшение расстояний строго пропорционально и явно определена нейтральная зона одинаковой плотности в промежутке между третьей и четвертой крышей. Проверим по вурфному уравнению (4.2) сохранилась ли пропорциональность высоте между крышами?
W1 = 1,284; W2 = 1,283; W3 = 1,283; W4 = 1,284.
Т.е. вурфный коэффициент в пределах трех знаков не изменился, и пропорциональность расстояния между крышами сохранилась. Это очень важное обстоятельство, отображающее, например, природный процесс развития живых организмов. Известно, что части живых тел при росте изменяются на разную величину и, кажется, что это изменение происходит диспропорционально. Однако во всех случаях роста у всех растений и организмов, даже на клеточном уровне, сохраняется вурфная пропорциональность в изменении их жизненных органов, аналогичная пропорциональности элементов проективных пирамид.
Покажем, что те же ряды гармонических точек серий М и N можно построить, используя параллельные не Дезарга, а Евклида (рис. 60). У параллельных Евклида отсутствует точка опоры, и плотность пространства от базисной прямой постоянно уменьшается. Поэтому отсутствует по высоте нейтральная зона, а расстояние между крышами все время возрастает в геометрической прогрессии и приходится отыскивать ограниченное количество точек.
Проведем базисную прямую и отложим на ней отрезок АВ разделенный пополам точкой N. Из точек А, N, В восстановим перпендикуляры – параллельные. Параллельная прямая N становится полярой. Отложим на параллельных расстояние равное 0,5АN, и соединим точки С и Д прямой. Образовавшийся прямоугольник АСДВ является прямоугольной трапецией, а прямая СД – его крыша. Через точку пересечение крыши СД с полярой проводим прямые – диагонали АД1 и ВС1, и соединив точки С1и Д1 получаем другую трапецию – квадрат АС1Д1В (двусмежный квадрат). Проведем диагонали в трапеции АС1Д1В и через их пересечение проведем прямую С2Д2, параллельную базисной прямой. Получим еще одну трапецию АС2Д2В. Построение, как и в предыдущем случае, можно продолжать бесконечно как от базисной прямой, так и к ней.
Перейдем к нахождению гармонических точек. Проведем прямые через точки С3Д2 и С2Д1 до пересечения с базисной прямой. Они пересекут ее в точке М отстоящей от В ровно на длину АВ. Соединим точки С2 и Д, точки С1 и До прямыми, продолженными до пересечения с базисной прямой. Они пересекут ее в точке М2. Таким образом можно найти и гармонические точки М3, М4 и т.д. Внутренние гармонические точки N1, N2, N3ит.д. также находятся на лучах, проложенных через точки пересечения прямых от крыш с полярой, до базисной прямой. \
Отметим одну особенность, характеризующую трапеции параллельных Евклида. Высоты их крыш возрастают точно так же, как возрастает базисный ряд русской матрицы, т.е. высоты их пропорциональны и структурированы по золотой пропорции 2,5; 5; 10; 20 и т.д., имеющей тот же вурф, что и расстояния между крышами аналогичной пирамиды Дезарга:
Wо = (2,5 + 5)(5 +10)⁄5(2,5 + 5 +10) = 1,286.
Теперь «наклоним» параллельные Евклида относительно базисной прямой на произвольный угол, и оставив высоту от базисной прямой до первой крыши равной АС´, соединим прямой точки С´ и Д´ (рис. 61). Через точку ее пересечения с полярой проведем диагонали АД´ и ВС´. Получим трапецию АС`Д´В. Через точку пересечения С´Д´ с полярой проведем диагонали и … т.д. Затем, аналогично предыдущему построению, проведем прямые С3´Д2´ и С2´Д1´ и продолжим их до пересечения с базисной прямой в точке М1. Проведя С3´Д´ и С´Д´ до пересечения с базисной прямой определим место точки М2. Аналогичным образом найдем точки М3, М4 и т.д. Внутренние точки N1, N2, N3 и т.д. находятся по лучам, проходящим от С3´, С2´, С1´ и т.д. через последующие центры поляр до пересечения с базисной прямой (рис. 61).
Таким образом, когда поляра проходит на равном расстоянии от двух параллельных, то построение гармоничных пропорций методом Дезарга и методом Евклида обусловливает нахождение одного и того же множества симметричных гармонических точек, как серии М, так и серии N. Если же расстояние от поляры до евклидовых параллельных различно, то крыши «едут». По мере удаления поляры от центра, наклон крыш увеличивается, а гармонические точки все больше приближаются к той прямой, к которой приближается поляра, и удаляются от другой параллельной (рис. 61). Пропорциональность и гармоничность же их не изменяется. Все операции нахождения серий точек повторяются аналогично предыдущему построению и точки оказываются в тех же местах, в которых они находятся у вертикальных параллельных.
Отметим также, что наклонение евклидовых параллельных, равноудаленных от поляры, не повлияло на положение крыш относительно горизонта. Они остались горизонтальными, и длина их не изменилась. Это следствия неизменной плотности пространства по горизонтали. Изменение плотности по вертикали приводит к тому, что параллельные боковины с удалением от базиса удлиняются следующим образом: 1,5; 2,9; 5,7; 11,4 и т.д. Но, тем не менее, пропорциональность их сохраняется, что и подтверждается вурфным коэффициентом: W1 = 1,292; W2 =1,290.
Коротко ознакомимся с характером изменения структуры проективной пирамиды при изменении положения поляры в круге. Отметим, что когда поляра проходит через центр окружности, т.е. когда пирамида симметрична, все ее крыши горизонтальны, а точки полюсов М и спутников поляры N на базисе расположены симметрично относительно нее. Каждая отдельная пара лучей крыш, вместе с базисной прямой, образовывают на бесконечности точки Дезарга симметрично по обе стороны пирамиды. Дискретное перемещение поляры вдоль диаметра сопровождается пропорциональным наклонением крыш с той стороны, в направлении которой она движется. А лучи от них, наклоняясь, «выходят» на базис одной, единой для всех точкой М и постепенно «проходят» все точки серии М. С противоположной стороны наклонение вызывает как бы «размыкание» точек Дезарга, поскольку, как свидетельствует рис.62, параллельность крыш нарушается. Но это нарушение параллельности – эффект картинки. Оно следствие изменения плотности пространства между параллельными сторонами пирамиды. И наклонение крыш не изменяет их параллельности, а только передвигает параллельные лучи к базисной прямой, имеющей бесконечную плотность, которая и «сводит» их в точку, перемещающуюся на базисной прямой вплоть до «соприкосновения» с окружностью в точке В.
С противоположной стороны пирамиды лучи от крыш движутся в пространстве уменьшающейся плотности, и потому возникает эффект их расширения. Постепенно наклон крыш приводит к тому, что виртуальные прямые, соединяющие точки С4, С3, С2 с точками Д3, Д2, Д. оказываются параллельными базису, и по обе стороны пирамиды, возникают новые точки Дезарга. Дальнейшее перемещение поляры приводит к опусканию лучей виртуальных крыш на базисную прямую и возникновению нового полюса М. И чем дальше движется поляра, тем больше возникает новых полюсов, медленно перемещающихся вдоль базисной линии к основанию пирамиды. Однако все элементы деформируемой пирамиды, расстояния между полюсами и спутниками поляры сохраняют свою вурфную пропорциональность и гармонические отношения между отдельными четверками чисел. Проверим это утверждение на реальных цифрах, исходя из той же длины диаметра равной 10 см и высоты пирамиды равной 19 см.
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 110; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!