Укажем две причины потери корней при решении уравнений:

Равносильность уравнений

Определения равносильных уравнений и уравнений - следствий

Определение 1. Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Например,

уравнения х² - 4 = 0 и (х + 2)(2^x - 4) = 0 равносильны, оба они имеют по два корня: 2 и -2. Равносильны и уравнения х²+1=0 и = -3, поскольку оба они не имеют корней.

Определение 2. Если каждый корень уравнения f( x) = g(х) ₍₁₎

является в то же время корнем уравнения р(х) = h(х), (2)

То уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Например, уравнение х - 2 = 3 имеет корень х = 5,

а уравнение (х - 2)² = 9 имеет два корня: х₁ = 5, х₂ = -1.

Корень уравнения х - 2 = 3 является одним из корней уравнения (х - 2)² = 9.

Значит, уравнение (х - 2)² = 9 — следствие уравнения х - 2 = 3.

Очевидным является следующее утверждение.

Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Решение уравнения осуществляется в три этапа.

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме

(1) → (2) → (3)→ (4) → ... и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса.

Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?

Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?

Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?

В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Теоремы равносильности уравнений.

«Спокойные теоремы» гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.

«Беспокойные теоремы» работают лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений.

«Спокойные теоремы»:

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение а^f(^x) = а^g(^x), (где а > 0, a≠1) равносильно уравнению

f(x) = g(х).

Прежде чем формулировать теоремы 4—6, напомним еще об одном понятии, связанном с уравнениями.

Определение 3. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(х) и g(х).

«Беспокойные теоремы»:

Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения

f(x) = g(х);

б) нигде в этой области не обращается в 0,

то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.

Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(x) = g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение (f(x))ⁿ=(g(x))ⁿ равносильное данному в его ОДЗ.

Теорема 6. Пусть а > 0 и a ≠ 1, x — решение системы неравенств

Тогда логарифмическое уравнение log_a f(x) = log_a g(x) равносильно на множестве X

уравнению f(x) = g(х)

Краткая запись теорем 4 – 6.

4. f(x) = g(x) ⇔ h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x) ≠0 и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.

5. f(x) = g(x) ⇔ (f(x))ⁿ=(g(x))ⁿ , где f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 и n=2k (чётное число).

6.log_a f(x) = log_a g(x) ⇔ f(x) = g(х), где f(х) > 0, g(х) > 0 и а > 0 и a≠1

4) Преобразование данного уравнения в уравнение – следствие. Проверка корней

Если в процессе решения уравнения применяем теоремы 4-6, не проверив выполнения ограничительных условий, то получим уравнение-следствие.

Например.

а) х – 1 = 3; х = 4

Умножим обе части на (х – 2):

(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень⇒ проверка!

б) ln(2x–4) =ln(3x–5)

Потенцируем 2х – 4 = 3х – 5; х = 1, но при этом значении уравнение не имеет смысла ⇒ искать ОДЗ или проверка.

Примеры

№1. Решить уравнение

Решение.

Первый этап — технический.

На этом этапе, как мы отмечали выше, осуществляют преобразования заданного уравнения по схеме (1) => (2) => (3) => (4) => ... и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Последовательно получаем:

;

s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

100(2х+5)² = 1296 – 216х + 9х²;

9х² – 416х + 796 = 0;

х₁ = 2, х_{2 =}

Второй этап — анализ решения.

На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка.

Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение.

х₂ = - посторонний корень.

Ответ: х = 2 .

№2. Решить уравнение ln (х + 4) + ln (2х + 3) = ln (1 - 2х).

Решение.

Первый этап.

Воспользуемся правилом «сумма логарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение ln (х + 4) + ln (2х + 3) выражением ln (х + 4)(2х + 3).

Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:

ln (х + 4)(2х + 3) = ln (1 - 2х).

Потенцируя, получаем:

(х + 4)(2х + 3) = (1 - 2х); 2х² + 8х + Зх + 12 = 1 - 2х; 2х² + 13х + 11 = 0; х ₁ = -1, х₂ = -5,5.

Второй этап.

В процессе решения произошло расширение ОДЗ уравнения, значит, обязательна проверка.

Третий этап.

Поскольку, кроме расширения ОДЗ уравнения, никаких других неравносильных преобразований в процессе решения уравнения не было, проверку можно выполнить по ОДЗ исходного уравнения. Она задается системой неравенств

Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а значение х = -5,5 не удовлетворяет уже первому неравенству, это посторонний корень.

Ответ: -1.

5) О потере корней.

Укажем две причины потери корней при решении уравнений:

1. Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h(х) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие h(х) ≠ 0);

2. Сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.

С первой причиной бороться нетрудно: приучайте себя переходить от уравнения

f(х)h(х) = g{х)h{х) к уравнению h( x)( f( x) – g( x))=0 (а не к уравнению f(x)=g(x)). Может быть, даже есть смысл вообще запретить себе деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, содержащее переменную.

Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 356; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!