Методика выполнения второй части задания №1

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

При выполнении второй части задания №1 осваивается способ определения положения главных центральных осей инерции и вычисления величин главных центральных моментов инерции для сложных составных сечений. Знание положения главных центральных осей инерции необходимо для определения по методу сечений внутренних силовых факторов в поперечных сечениях элементов конструкций, а величины главных моментов инерции используют при оценке прочности и жесткости. Положение центра тяжести сечения C (рисунок 15) в системе осей XY определяют по координатам его x_c и y_c из выражений

(1.7)

(1.8)

где S_x и S_y – статические моменты площади сечения ; F – площадь сечения.

Рисунок 15

При выполнении задания необходимо изучить и использовать формулы изменения осевых и центробежных моментов инерции при параллельном переносе и повороте осей координат.

Если за исходные взять центральные оси и , для которых известны осевые моменты инерции и центробежный момент инерции , то для параллельных осей и :эти геометрические характеристики будут иметь вид

; (1.9)

; (1.10)

(1.11)

Для осей и , повернутых на угол :

(1.12)

(1.13)

(1.14)

Под некоторым углом находятся главные центральные оси и , относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, а центробежный момент инерции равен нулю. Этот угол определяется из выражения

, (1.15)

а величины осевых моментов инерции, называемых главными центральными моментами инерции сечения:

(1.16)

У симметричных сечений главные оси совпадают с осями симметрии.

Для составного сечения все геометрические характеристики определяют суммированием геометрических характеристик отдельных фигур, входящих в сечение. Для стандартных прокатных профилей (уголок, швеллер, двутавр) эти характеристики берут из таблиц ГОСТов; для простых нестандартных сечений (прямоугольник, круг и т.п.) их определяют по формулам, представленным в курсе сопротивления. Для прямоугольного сечения относительно главных центральных осей его (осей симметрии) осевые моменты инерции

(1.17)

(1.18)

где b и h – стороны прямоугольника, соответственно параллельные осям X и Y.

Для контроля правильности выполнения задания необходимо учитывать то, что при повороте взаимно перпендикулярных осей вокруг начала координат сумма осевых моментов инерции остается постоянной. При этом относительно главных осей моменты инерции экстремальны, т.е. относительно одной из них имеют самое максимальное значение, относительно другой - самое минимальное.

Пример. Для сечения состоящего из прямоугольника со сторонами b=20мм и h=180мм, швеллера №22а и равнобокого уголка 70x70x8, определить положение главных центральных осей инерции и вычислить главные центральные моменты инерции (рисунок 16).

Рисунок 16

При вычислении все размеры берем в сантиметрах.

Определение положения центра тяжести сечения. используя выражения (1.7) (1.8), определяем координаты центра тяжести сечения в системе координат X и Y.

; из таблиц ГОСТов

Определение осевых и центробежного моментов инерции относительно центральных осей и .

Используем формулы изменения геометрических характеристик при параллельном переносе осей координат(1.9….1.11), беря за исходные центральные оси каждой фигуры.

Для прямоугольника согласно выражениям (1.17) и (1.18)

т.к. оси и для прямоугольника главные (ос симметрии)

Для швеллера из таблиц ГОСТ:

т.к. оси и для швеллера главные (ос симметрии)

Для уголка из таблиц ГОСТ:

Т.к. оси и не являются главными для уголка, то определим центробежный момент инерции , используя выражение (1.14) и беря за исходные главные оси уголка . Учитывая, что .

Из таблиц ГОСТ: , т.к. этот угол отложен почасовой стрелке.

Вычисляем геометрические характеристики всего сечения:

Определение положения главных центральных осей инерции и вычисление главных центральных моментов инерции.

По выражению (1.15) определим угол наклона главных центральных осей инерции

что соответствует ,

Угол положителен, откладываем его от оси против часовой стрелки и проводим главные оси и , т.к. главная ось находится ближе к оси , относительно которой осевой момент инерции , то относительно оси осевой момент инерции будет принимать минимальное значение и в выражении (1.16) вместо пишем: