Метод интегрирования подстановкой (замена переменной).
Часто интеграл можно значительно упростить, сделав замену переменной. Такой метод интегрирования заключается в том, что при помощи подстановки переменная интегрирования заменяется на функцию от другой независимой переменной.
Пусть нужно найти .
Сделаем замену переменной , где – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда .
Получим формулу интегрирования подстановкой:
.
Эта формула также называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. После вычисления интеграла правой части формулы следует вернуться к старой переменной интегрирования x.
Иногда бывает удобнее сделать подстановку в виде . Как это сделать мы увидим далее в процессе решения примеров.
Примеры.
1. Найти
Решение.
Сделаем замену
Тогда , и
Возвращаясь к переменной x, получаем
Можно использовать краткую запись, выделяя замену переменной и выкладки, связанные с ней, вертикальными линиями. Запись данного примера будет выглядеть так:
2. Вывести формулу для табличного интеграла
Решение.
Введем новую переменную
Такая подстановка называется подстановкой Л. Эйлера. Выразим переменную x через t. Для этого проделаем следующие выкладки:
Найдем dx:
Выразим через t:
Подставим dx и под знак интеграла и получим
Замечание. Так как этот интеграл часто встречается в приложениях, а нахождение его трудоемко, мы включили его в основную таблицу интегралов.
|
|
3. Найти
Решение.
Сделаем замену . Тогда , .
Теперь нужно вернуться к старой переменной. Получим
4. Решим предыдущий пример другим способом.
Сделаем замену . Тогда и
Применяя тригонометрическую формулу
получим
Следовательно,
.
Мы видим, что при различных подстановках получены разные по виду результаты. На самом деле можно доказать, что результаты одинаковы.
1. Найти
Решение.
Выделим в знаменателе полный квадрат
и сделаем замену тогда
Примеры для самостоятельного решения
Задание | Ответ | Подстановка |
1. | ||
2. | ||
3. | Выделить полный квадрат в подкоренном выражении. | |
4. | ||
5. | ||
6. | ||
7. | ||
8. | ||
9. |
Приложение
Алгебраические выражения
;
;
C войства степеней
Логарифмы
( )
,
Тригонометрические функции
ЛИТЕРАТУРА
1. Берман Н.Г. Сборник задач по курсу математического анализа. – СПб.: Специальная литература, 2000.
|
|
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1984.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. – М., 2004.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для
ВТУЗов. Т. 1,2. – М.: Наука, 1996.
4. Письменный Дм. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс. – М.: Айрис-Пресс, 2011.
5. Васильева Н.И., Непомнящая Е.Ю., Филиппова А.Ф. Неопределенный интеграл. Учебное пособие.– СПбГУКиТ. 2007.
Оглавление
Стр.
§1. Первообразная и неопределенный интеграл………………………………..3
§2. Вычисление интегралов с помощью таблицы интегралов и их свойств….6
§3. Интегрирование методом подведения под знак дифференциала………..10
§4. Интегрирование по частям………………………………………………….15
§5. Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)……………..19
Приложение………………………………………………………………………23
Литература……………………………………………………………………….25
Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 70; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!