Вычисление интегралов с помощью таблицы интегралов и их свойств
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ»
Кафедра математики и информатики
Н.И. Васильева, Е.Ю. Непомнящая
МЕТОДЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Методические указания
к решению задач по теме «Методы интегрирования»
для студентов ФАВТ, ФМА, ФФиТРМ
дневного, вечернего и заочного отделений
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2012
Составители: Н.И. Васильева, Е.Ю. Непомнящая
Рецензент: Е.Н. Бегун
Утверждено на заседании кафедры математики и информатики.
Протокол №8 от 9 января 2012 года.
Данные методические указания предназначены для самостоятельного изучения раздела высшей математики "Неопределенный интеграл" и содержат теоретические сведения и примеры решения задач по технике интегрирования.
Первообразная и неопределенный интеграл.
Определение 1. Функция называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство
Пример.
Функция является первообразной для функции , так как .
Функция также является первообразной для функции .
Мы видим, что две первообразные для одной и той же функции отличаются только постоянной.
Очевидно, что если – первообразнаяи С – произвольная постоянная, то содержит все первообразные функции .
|
|
Определение 2. Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом , то есть
,
где называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, а С – произвольной постоянной интегрирования.
Примеры.
1. , так как .
2.
Понятно, что проверку нужно сделать дифференцированием. Сделайте это самостоятельно.
Свойства неопределенного интеграла.
1. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
,
.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
4. Неопределенный интеграл от суммы двух или конечного числа функций равен сумме интегралов от этих функций:
5.
где – первообразная функции
Инвариантность формулы интегрирования
Если , то и , где – произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или функцией от нее.
|
|
Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием.
Запишем ряд интегралов, которые в дальнейшем будем считать табличными.
Таблица 1
1.
2. .
2а.
2b.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. .
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Формулы 2a и 2b являются частными случаями формулы 2 при и
В таблице аргумент подынтегральной функции обозначен через t, при этом аргумент может быть как независимой переменной, так и функцией.
В дальнейшем под термином "интеграл" мы будем понимать «неопределенный интеграл».
Вычисление интегралов с помощью таблицы интегралов и их свойств
Рассмотрим несколько интегралов, которые могут быть получены с использованием таблицы интегралов, свойств интегралов (§1) и преобразований подынтегральной функции.
1. Найти
Решение.
Используя формулу сведем интеграл к табличному (формула 2):
2. Найти
Решение.
Преобразуем подынтегральную функцию: проведем почленное деление и преобразование степеней.
Здесь мы использовали свойства 3, 4, а также табличные интегралы 2,3.
3. Найти
Решение.
4. Найти
Решение.
Используя свойство 5 и табличный интеграл 5, получаем
|
|
5. Найти .
Решение.
Для удобства вынесем знак минус за знак интеграла (свойство 3):
.
Самостоятельно определите, какое свойство и какой табличный интеграл были использованы.
6. Найти
Решение.
7. Найти
Подынтегральную функцию преобразуем в сумму (см. Приложение).
8. Найти
Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу понижения степени (см. Приложение)
9. Найти
Преобразуем подынтегральную функцию.
Задачи для самостоятельного решения.
Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 60; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!