Приложения определенного интеграла
Понятие определенного интеграла вследствие его абстрактности широко применяется при вычислении различных геометрических и физических величин.
Для вычисления некоторой величины с помощью определенного интеграла можно использовать следующие общие схемы решения.
Схема I
1. Разбиваем величину 
на 
слагаемых 
:
2. Выражаем приближенно каждое слагаемое в виде произведения:
где 
– данная или определяемая из условий задачи функция, 
– точка интервала 
, разбивающие его на 
равных частей с длинами 
.
3. Представляем приближенно значение в виде интегральной суммы:
4. Если из условия задачи следует, что погрешность этого приближенного равенства стремится к 0 при 
, то искомая величина выражается определенным интегралом:
Схема II
1. Пусть величина получает приращение 
, соответствующее изменению 
на малую величину 
, причем 
рассматривается как данная или определяемая из условий задачи функция от .
2. Заменив приращение 
дифференциалом 
(главная линейная часть приращения дифференцируемой функции) и 
– дифференциалом 
( 
), получим
3. Интегрируя это равенство в пределах от 
до 
, получим
Геометрическое приложение определенного интеграла
1. Вычисление площади плоской фигуры (области (D))
а) Линии, ограничивающие область (D), заданы в декартовых координатах
Случай 1. Площадь области (D), ограниченной прямыми 
(b > a) и непрерывными кривыми 
где 
(рис. 1), находится по формуле:
|
|
|
(1)
Случай 2. Площадь области (D), ограниченная прямыми y = c, y = d ( d > c ) и
непрерывными кривыми 
и 
где 
(рис. 2), находится по формуле:
(2)
Рис. 2
б) Линии, ограничивающие область (D), заданы в параметрической форме.
Формула для вычитания площади области (D), ограниченной прямыми x = a, x = b ( b > a ), непрерывной линией, заданной параметрически уравнениями:
, где 
ψ ( t )≥0 ∀ t ∈[t 1 ; t 2] (3)
в) Линии, ограничивающие область (D), заданы в полярной системе координат
Площадь области (D), ограниченной полярными лучами φ=α, φ=β (β>α) и непрерывными полярными кривыми: r = f (φ), r =ψ(φ), где 
находится по формуле:
(4)
2. Вычисление объема тела вращения
Формула для вычисления объема тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси (ox), имеет вид:
(рис. 4) (5)
|
|
|
а вокруг оси (oy):
(рис. 5) (6)
Приложение определенного интеграла к решению физических задач
1. Вычисление пути, пройденного материальной точкой при неравномерном движении по прямой со скоростью V (t)за время [t1; t2]
2. Вычисление работы, производимой переменной силой F(x) при перемещении по оси ox материальной точки от x = a до x = b
Примеры с решениями
Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями: параболой 
и прямой 
.
Решение. Построив данные линии, видно, что искомая площадь области ACB (рис.6) ограниченной сверху параболой и снизу прямой, которые пересекаются в точках А (1; 
) и В (6;3), равна разности площадей А1АСВВ1 и А1АВВ1. Тогда площадь области выражается интегралом в соответствии с формулой (1).
Ответ: 
кв. ед.
Пример 2. Найти площадь, ограниченную эллипсом 
, 
.
Решение. Оси координат совпадают с осями симметрии данного эллипса (рис. 7).Четвертую часть искомой площади S, расположенную в первой четверти координатной плоскости, найдем как площадь криволинейной трапеции, прилегающей к Ox:
|
|
|
Ответ: S = 8π кв. ед.
Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой 
.
Решение. Кардиоида симметрична относительно полярной оси (рис. 8). Тогда искомая площадь равна удвоенной площади криволинейного сектора OAB. Дуга OAB описывается концом полярного радиуса ρ при изменении угла φ от 0 до π. Используя формулу (4) найдем S.
Ответ: 
Пример 4. Вычислить объём тела, образовавшегося вращением фигуры, ограниченной линиями 
, 
вокруг оси OX (рис. 9).
Решение. Построив параболу и прямую , получим внутреннюю область OAB при вращении её вокруг оси OX , образуется сегмент параболоида вращения. Объем этого тела находим по формуле (5).
Ответ: 
ед. куб.
Пример 5. Определить работу, произведённую при адиабатическом расширении воздуха, имеющего начальный объём V 0 = 1 м3 и давление P 0 = 9,8·104 Падо объёма V 1 = 10 м3.
Решение. Объём газа в закрытом сосуде и производимое им давление P связаны формулой:
Пусть x (м) – расстояние пройденное поршнем (рис. 6). Предположим, что при изменении x на малую величину Δx испытываемое поршнем давление остаётся неизменным; при этом объём V изменится на ΔV. Работа силы давления на отрезке Δx выразится приближённым равенством: 
, где S – площадь поршня. Так как 
, то 
, при этом 
. Следовательно:
|
|
|
. (Схема II)
Интегрируя в пределах от V 0 до V 1 дифференциальное равенство 
, получим
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 65; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!