Интегрирование определенного интеграла методом подстановки

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка х=φ(t). Если функция х=φ(t) и её производная непрерывны на отрезке [α, β], причём a=φ(α), b=φ(β), то справедлива формула:

Отметим, что :

1).функцию х=φ(t) следует подобрать так, чтобы, подставив её вместо х в подынтегральное выражение, получить более простой интеграл;

2).при вычислении определённого интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

3) вместо подстановки х=φ(t) применяют и подстановку t=ψ(x).

Пример 7.

С помощью подстановки вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а). Применим подстановку . Тогда x=t²; dx=2tdt.

Находим новые пределы интегрирования:

x	1	9
t=√x	1	3

б). Положим . Тогда получаем x= 2arctgt, dx=

Находим новые пределы интегрирования:

x	0
t	0	1

в). Полагая t=3-x, получим : x=3-t, dx=-dt. Пределы интегрирования:

x	2	3
t	1	0

Интегрирование определенного интеграла по частям

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формула

Пример 8.

Вычислить интегралы с помощью формулы интегрирования по частям:

а) ; б) ; в)

Решение.

а). Пусть u=lnx, dv=(x+1)dx. Тогда

б). Пусть u=arctgx, dv=dx. Тогда Имеем

в). Пусть u=x², dv=sin2xdx, du=2xdx, v=-1/2cos2x.

Снова интегрируем по частям: u=x, dv=cos2xdx, du=dx, v=1/2sin2x.

Приложения определённого интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x) (f(x)≥0), слева и справа соответственно прямыми х=а и х=b, снизу отрезком [a;b] оси Ох, вычисляется по формуле

В этом и состоит геометрический смысл определённого интеграла: он численно равен площади криволинейной трапеции.

Если f(x)≤0 при хє[a;b], то

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x), причём f₁(x)≤f₂(x), прямыми х=а и х=b вычисляется по формуле

Пример 9.

Вычислить площадь между кривыми y₁=x² и y₂=3x.

Решение.

Найдём абсциссу точки пересечения графиков данных функций, для этого решаем уравнение: x²=3x.

Отсюда х₁=0, х₂=3.

Ответ: 4,5 кв.ед.

Вычисление объёмов тел

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x) и прямыми y=0, x=a, x=b, вращается вокруг оси 0x, то объём тела вращения вычисляется по формуле: