Как определять знаки на интервалах?
Самый надежный способ определения знака выражения из левой части неравенства на каждом промежутке состоит в вычислении значения этого выражения в какой-либо одной точке из каждого промежутка. При этом искомый знак на промежутке совпадает со знаком значения выражения в любой точке этого промежутка. Поясним это на примере.
Возьмем неравенство 
. Выражение из его левой части не имеет нулей числителя, а нулем знаменателя является число −3. Оно делит числовую прямую на два промежутка (−∞, −3) и (−3, +∞). Определим знаки на них. Для этого возьмем по одной точке из этих промежутков, и вычислим значения выражения 
в них. Сразу заметим, что целесообразно брать такие точки, чтобы проводить вычисления было легко. Например, из первого промежутка (−∞, −3) можно взять −4. При x=−4 имеем 
, получили значение со знаком минус (отрицательное), поэтому, на этом интервале будет знак минус. Переходим к определению знака на втором промежутке (−3, +∞). Из него удобно взять 0 (если 0 входит в промежуток, то целесообразно всегда брать его, так как при x=0 вычисления оказываются наиболее простыми). При x=0 имеем 
. Это значение со знаком плюс (положительное), поэтому, на этом интервале будет знак плюс.
Существует и другой подход к определению знаков, состоящий в нахождении знака на одном из интервалов и его сохранении или изменении при переходе к соседнему интервалу через нуль. Нужно придерживаться следующего правила. При переходе через нуль числителя, но не знаменателя, или через нуль знаменателя, но не числителя, знак изменяется, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не изменяется, если четная. А при переходе через точку, являющуюся одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя, знак изменяется, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная, и не изменяется, если четная.
|
|
|
Кстати, если выражение в правой части неравенства имеет вид, указанный в начале первого пункта этой статьи, то на крайнем правом промежутке будет знак плюс.
Чтобы все стало понятно, рассмотрим пример.
Пусть перед нами неравенство 
, и мы его решаем методом интервалов. Для этого находим нули числителя 2, 3, 4 и нули знаменателя 1, 3, 4, отмечаем их на координатной прямой сначала черточками
затем нули знаменателя заменяем изображениями выколотых точек
и так как решаем нестрогое неравенство, то оставшиеся черточки заменяем обыкновенными точками
А дальше наступает момент определения знаков на промежутках. Как мы заметили перед этим примером, на крайнем правом промежутке (4, +∞) будет знак +:
Определим остальные знаки, при этом будем продвигаться от промежутка к промежутку справа налево. Переходя к следующему интервалу (3, 4), мы переходим через точку с координатой 4. Это нуль как числителя, так и знаменателя, эти нули дают выражения (x−4)2 и x−4, сумма их степеней равна 2+1=3, а это нечетное число, значит, при переходе через эту точку нужно изменить знак. Поэтому, на интервале (3, 4) будет знак минус:
|
|
|
Идем дальше к интервалу (2, 3), при этом переходим через точку с координатой 3. Это нуль также как числителя, так и знаменателя, его дают выражения (x−3)3 и (x−3)5, сумма их степеней равна 3+5=8, а это четное число, поэтому, знак останется неизменным:
Продвигаемся дальше к интервалу (1, 2). Путь к нему нам преграждает точка с координатой 2. Это нуль числителя, его дает выражение x−2, его степень равна 1, то есть она нечетная, следовательно, при переходе через эту точку знак изменится:
Наконец, осталось определить знак на последнем интервале (−∞, 1). Чтобы попасть на него, нам необходимо преодолеть точку с координатой 1. Это нуль знаменателя, его дает выражение (x−1)4, его степень равна 4, то есть, она четная, следовательно, знак при переходе через эту точку изменяться не будет. Так мы определили все знаки, и рисунок приобретает такой вид:
|
|
|
Понятно, что применение рассмотренного метода особенно оправдано, когда вычисление значения выражения связано с большим объемом работы. К примеру, вычислите-ка значение выражения 
в любой точке интервала 
.
Будем считать, что с нахождением знаков на промежутках разобрались.
Дата добавления: 2020-11-27; просмотров: 142; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!