Параллельное соединение проводников
| Параллельным называется соединение проводников, при котором их начала соединены вместе и их концы соединены вместе. |
При параллельном соединении (рис. 4.12) напряжение Uab на участке ab будет одинаковым для каждого отдельного сопротивления, то есть
Рис. 4.12. Параллельное соединение проводников
| (4.28) |
Из закона сохранения заряда следует, что при разветвлении цепи часть зарядов может пойти по ее отдельным участкам, но полное количество заряда, пришедшего к точке разветвления, должно равняться сумме всех зарядов, вышедших из нее. Иными словами, ток I равен сумме токов в отдельных ветвях цепи
| (4.29) |
С другой стороны, сила тока на всем участке равна
| (4.30) |
где Rпap — общее сопротивление цепи при параллельном соединении.
Следовательно,
| (4.31) |
Сводя воедино полученные соотношения, получаем закон параллельного соединения проводников:
При параллельном соединении проводников:
— падение напряжения на каждом проводнике одинаково и равно падению напряжения во всей цепи
— сила тока в неразветвленной цепи равна сумме токов в отдельных проводниках
— сопротивление цепи равно
|
Формулы для последовательного и параллельного соединения проводников позволяют во многих случаях рассчитывать сопротивление сложной цепи, состоящей из многих резисторов.
Цепи, подобные изображенной на рис. 4.14, а также цепи с разветвлениями, содержащие несколько источников, рассчитываются с помощью правил Кирхгофа.
|
|
|
Рис. 4.14. Пример электрической цепи, которая не сводится к
комбинации последовательно и параллельно соединенных проводников
Как следует из (4.14), работа против сил поля внутри источника тока выражается через падение напряжения на внешнем сопротивлении R
Для замкнутой электрической цепи работа против сил сопротивления среды источника 
приводит к падению напряжения 
внутри источника, так что
| (4.32) |
Приписав источнику тока внутреннее сопротивление r, записываем падение напряжения на внутреннем участке цепи в соответствии с законом Ома
| (4.33) |
Как следует из (4.13), при замкнутой внешней цепи (рис. 4.15, 4.16) ЭДС источника тока e равна сумме падений напряжения на внутреннем сопротивлении источника и во внешней цепи
| (4.34) |
откуда
| (4.35) |
Рис. 4.15. Направление электрического тока J (1 → 2)
совпадает с направлением действия источника тока с ЭДС e (3 → 4)
Рис. 4.16. Замкнутая цепь с активным сопротивлением R и источником тока (показан пунктирным прямоугольником) с ЭДС e и внутренним сопротивлением r. Напряжение на зажимах источника (точки 1 и 2) равно 
и меньше ЭДС на величину падения напряжения Ir на внутреннем сопротивлении. Распределение потенциала вдоль цепи показано справа. Сумма падений напряжения на внутреннем сопротивлении и нагрузке (внешней цепи) равна ЭДС источника тока
|
|
|
Видно, что внешнее и внутреннее сопротивления можно рассматривать как два сопротивления, соединенных последовательно
Правила Кирхгофа
На практике очень часто встречаются сложные (разветвленные) электрические цепи, для расчета которых удобно использовать правила Кирхгофа (рис. 4.22).
Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда и того естественного требования, чтобы при стационарных процессах ни в одной точке проводника не накапливались и не уменьшались заряды. Это правило относится к узлам, то есть к таким точкам в разветвленной цепи, в которой сходится не менее трех проводников.
Первое правило Кирхгофа гласит:
Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, то есть количество зарядов, приходящих в данную точку цепи в единицу времени, равно количеству зарядов, уходящих из данной точки за то же время
|
При этом токи, подходящие к узлу и отходящие от него, имеют противоположные знаки (рис. 4.23).
|
|
|
Рис. 4.23. Сумма токов, сходящихся в узле равна нулю
Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома и относится к любому замкнутому контуру разветвленной цепи.
Второе правило Кирхгофа гласит:
В любом замкнутом контуре цепи алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления соответствующих участков контура равна алгебраической сумме ЭДС в контуре (рис. 4.24)
|
Рис. 4.24. Пример разветвленной электрической цепи.
Цепь содержит один независимый узел (a или d) и два независимых контура (например, abcd и adef)
Правила Кирхгофа позволяют определить силу и направление тока в любой части разветвленной цепи, если известны сопротивления ее участков и включенные в них ЭДС. Число уравнений, составляемых по первому и второму правилам Кирхгофа, должно равняться числу искомых величин. Используя первое правило Кирхгофа для разветвленной цепи, содержащей m узлов и n ветвей (участков), можно написать (m– 1) независимых уравнений, а используя второе правило, (n –m + 1) независимых уравнений.
Приведем пример расчета токов в разветвленной цепи (рис. 4.25).
|
|
|
Рис. 4.25. Пример разветвленной цепи
Направления действия ЭДС показаны синими стрелками. В этой цепи у нас имеется два узла — точки b и d (m = 2), и три ветви — участок b–а–d с током I1, участок b–d с током I2 и участок b–c–d с током I3 (n = 3). Значит, мы можем написать одно (m– 1 = 2 – 1 = 1) уравнение на основе первого правила Кирхгофа и два (n – m+ 1 = 3 – 2 + 1 = 2) уравнения на основе второго правила Кирхгофа. Как же это делается на практике?
Шаг первый. Выберем направления токов, текущих в каждой из ветвей цепи. Как эти направления выбрать — совершенно неважно. Если мы угадали, в окончательном результате значение этого тока получится положительным, если нет и направление должно быть обратным — значение этого тока получится отрицательным. В нашем примере мы выбрали направления токов как показано на рисунке. Важно подчеркнуть, что направления действия ЭДС не произвольны, они определяются способом подключения полюсов источников тока (см. рис. 4.25).
Шаг второй. Записываем первое правило Кирхгофа для всех узлов кроме одного (в последнем узле, выбор которого произволен, это правило будет выполняться автоматически). В нашем случае мы можем записать уравнение для узла b, куда входит ток I2 и выходят токи I1 и I3
| (4.45) |
Шаг третий. Нам осталось написать уравнения (в нашем случае - два) для второго правила Кирхгофа. Для этого надо выбрать два независимых замкнутых контура. В рассматриваемом примере имеются три такие возможности: путь по левому контуру b–a–d–b, путь по правому контуру b–c–d–b и путь вокруг всей цепи b–a–d–c–b. Достаточно взять любые два из них, тогда для третьего контура второе правило Кирхгофа будет выполнено автоматически. Направление обхода контура роли не играет, но при обходе ток будет браться со знаком плюс, если он течет в направлении обхода, и со знаком минус, если ток течет в противоположном направлении. Это же относится к знакам ЭДС.
Возьмем для начала контур b–a–d–b. Мы выходим из точки b и движемся против часовой стрелки. На нашем пути встретятся два тока, I1 и I2, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода. ЭДС 
также действует в этом же направлении. Поэтому второе правило Кирхгофа для этого участка цепи записывается как
| (4.46) |
В качестве второго замкнутого пути для разнообразия выберем путь b–a–d–c–b вокруг всей цепи. На этом пути мы встречаем два тока I1 и I3, из которых первый войдет со знаком плюс, а второй — со знаком минус. Мы встретимся также с двумя ЭДС, из которых войдет в уравнения со знаком плюс, а 
— со знаком минус. Уравнение для этого замкнутого пути имеет вид
| (4.47) |
Шаг четвертый. Мы нашли три уравнения для трех неизвестных токов в цепи. Решение произвольной системы линейных уравнений описывается в курсе математики. Для наших целей (цепь достаточна проста) можно просто выразить I3 через I1 из уравнения (4.47)
| (4.48) |
I2 через I1 с помощью уравнения (4.46)
| (4.49) |
и подставить (4.48), (4.49) в уравнение первого правила Кирхгофа (4.45). Это уравнение содержит лишь неизвестное I1, которое находится без труда
| (4.50) |
Подставляя это выражение в (4.48), (4.49), находим соответственно токи I2, I3
| (4.51) |
Шаг пятый. В найденные формулы подставляют численные значения, коль скоро они заданы. Подсчитаем для примера токи в нашей цепи при одинаковых сопротивлениях R1 = R2 = R3 = 10 Ом, но разных ЭДС 
Имеем:
| (4.52) |
Последнее значение получилось отрицательным при данных численных характеристиках цепи. Значит, на самом деле направление тока обратно показанному на рисунке. Это естественно: мощный левый источник посылает ток 0,75 А, часть которого (0,45 А) ответвляется в среднюю ветвь, а остаток — 0,3 А — продолжает течь в том же направлении, чему не может воспрепятствовать маломощная правая батарея.
В нашем примере мы пренебрегли внутренним сопротивлением источников тока. При их наличии они также должны включаться в уравнения второго правила Кирхгофа.
Закон Джоуля — Ленца
Предположим, что на концах участка проводника имеется разность потенциалов 
Перемещаясь из точки 2 с большим потенциалом в точку 1, где потенциал меньше, положительный заряд 
теряет энергию 
По определению для постоянного тока
Тогда 
и теряемая энергия (или работа сил электрического поля) равна
Куда же девается эта энергия? Она не переходит в кинетическую энергию заряда, так как при постоянном токе дрейфовая скорость зарядов неизменна. Вспомним, что заряд не ускоряется из-за столкновений с атомами кристаллической решетки проводника. Значит, если в проводнике течет ток и проводник неподвижен, то работа сил электрического поля расходуется на нагревание проводника. Сталкиваясь с частицами проводника, носитель заряда передает им свою энергию, которую получает от поля. Поэтому работа поля над зарядами переходит, в конечном счете, в энергию теплового (хаотического) движения атомов проводника, то есть происходит нагревание проводника. Таким образом, работа А, произведенная за время 
выделяется в проводнике в виде теплоты 
| (4.57) |
Данная формула носит название закона Джоуля — Ленца. Закон установлен Дж. Джоулем в 1841 г. (рис. 4.30) и независимо от него русским физиком Э.X. Ленцем в 1842 г.
При столкновении с ионом, как мы предположили, электрон передает ему набранную за время 
энергию дрейфа
Умножая We на концентрацию электронов n и деля на время 
получаем тепловую энергию, передаваемую единице объема проводника в единицу времени (то есть плотность мощности)
| (4.69) |
Последнее равенство в этой цепочке получено с использованием выражения (14.66) для 
. В результате мы вывели закон Джоуля — Ленца (4.60) из микроскопической теории.
также не согласуется с экспериментом. Объяснение всех несоответствий смогла дать только квантовая теория.
Зарядка конденсатора
В этом разделе мы решим задачи о зарядке и разрядке конденсатора. Электрическая цепь показана на рис. 4.20. Переключатель S позволяет подсоединять и отсоединять источник тока.
|
Рис. 4.20. Цепь для зарядки и разрядки конденсатора Пусть сначала конденсатор емкостью С не заряжен, и мы перебрасываем выключатель в положение а. По цепи пойдет зависящий от времени ток I(t), переносящий положительный заряд на верхнюю пластину конденсатора. Отметим, что хотя ток зарядки и разрядки конденсатора не является постоянным, но рассматривается здесь, поскольку его изменение в данном случае можно считать медленным. Обозначим заряд на этой пластине в момент t через q(t). Напряжение на конденсаторе можно найти как разницу между ЭДС и падением напряжения на нагрузке, то есть
Согласно закону сохранения заряда, изменение заряда q на обкладках конденсатора происходит только из-за наличия тока I. Поэтому второе уравнение процесса имеет вид
Подставим (4.37) в (4.36):
Мы видим, что у этого уравнения имеется стационарное решение (постоянный заряд на конденсаторе)
При таком заряде на конденсаторе напряжение на нем равно ЭДС источника тока, и ток по цепи не идет
Введем отклонение у заряда на конденсаторе от его стационарного значения
или
Подставляя это соотношение в (4.38), находим уравнение для функции y(t)
Это уравнение легко интегрируется
откуда
Вычисляя интегралы. находим
или
где y0 — произвольная постоянная интегрирования (значение у в начальный момент времени). Отсюда находим заряд на конденсаторе
Нам осталось использовать начальное условие: в момент t = 0 конденсатор был не заряжен
Отсюда находим
и окончательно
Дифференцируя q(t) по времени, находим ток в цепи | |||||||||
| (4.40) | ||||||||
либо как отношение заряда к емкости q/C. Приравнивая эти выражения, получаем первое уравнение процесса зарядки
Напряжение на конденсаторе U(t) = q(t)/C без труда получается из (4.39)
| (4.41) |
Таким образом, по мере роста заряда и напряжения на конденсаторе ток в цепи уменьшается. При этом заряд конденсатора стремится к своему стационарному значению 
а напряжение на конденсаторе — к ЭДС источника тока. Величина 
имеет размерность времени и определяет характерное время процесса зарядки. За промежуток 
ток в цепи уменьшается
в е = 2,72 раза.
На рис. 4.21 показана зависимость заряда на конденсаторе и тока в цепи для конкретных значений R = 1,5 кОм, С = 2 мкФ, 
Характерное время процесса равно при этих значениях 
Из рисунков видно, что уже при временах порядка
конденсатор почти полностью заряжается.
Рис. 4.21. Графики зависимости напряжения на конденсаторе (слева) и тока в цепи (справа)
при зарядке конденсатора емкостью С = 2 мкФ через активное сопротивление R = 1,5 кОм от источника тока с ЭДС 12 В
Рассмотрим теперь процесс разрядки конденсатора. Зарядив его до какого-то заряда 
(или, что то же самое, до начального напряжения U0 = q0/C), мы перебрасываем переключатель в положение b (см. рис. 4.20). Конденсатор начнет разряжаться, а по цепи пойдет ток. Мы имеем те же самые уравнения за исключением того, что в цепь не включен источник тока. Поэтому в этом случае надо положить 
в уравнении (4.38). Тогда оно совпадет с тем, что мы ранее решали для y(t), поэтому решения для процесса разрядки конденсатора нам уже известны
| (4.42) |
Все эти величины быстро уменьшаются с течением времени: за тот же характерный промежуток 
заряд конденсатора, напряжение на нем и ток в цепи падают в 2,72 раза. Отрицательный знак в выражении для тока означает, что ток при разрядке течет в направлении, обратном току при зарядке конденсатора.
Дата добавления: 2020-11-27; просмотров: 115; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!