Элементы теории относительности
Основные формулы
Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки
x = A cos( w t+ j),
где х - смещение; А -амплитуда колебаний; w - угловая или циклическая частота; j - начальная фаза.
Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:
u = -A w sin( w t+ j ); a = -A w 2 cos( w t+ j ).
Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z
где Мz - результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело; e - угловое ускорение; Jz - момент инерции относительно оси вращения.
Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:
а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню,
б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),
где R - радиус обруча (цилиндра);
в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,
Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z,
где w - угловая скорость тела.
Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,
= const,
где Jz - момент инерции системы тел относительно оси z; w - угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,
или
Релятивистская масса
|
|
или
где mo - масса покоя частицы; u - ее скорость; с - скорость света в вакууме; b - скорость частицы, выраженная в долях скорости света
(b = u/с).
Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы
или
где Ео= mос2 - энергия покоя частицы.
Полная энергия свободной частицы
Е = Ео + Т,
где Т - кинетическая энергия релятивистской частицы.
Кинетическая энергия релятивистской частицы
или
Импульс релятивистской частицы
или
Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы
Примеры решения задач
Пример 1. Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5 м и массой m1=180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n=10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой m2=60 кг. Какую линейную скорость u относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция Lz момента импульса системы платформа-человек остается постоянной:
const, (1)
|
|
где Jz - момент инерции платформы с человеком относительно оси z;
w - угловая скорость платформы.
Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии а в конечном состоянии .
С учетом этого равенство (1) примет вид
(2)
где значения моментов инерции J1 и J2 платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы; и - к конечному.
Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется: . Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J2 в начальном состоянии (в центре платформы)можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека
Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (w = 2pn) и конечной угловой скорости (w' = u/R, где u - скорость человека относительно пола):
После сокращения на R2 и простых преобразований находим скорость
Произведем вычисления:
м/с.
Пример 2. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2с. Полная энергия колеблющейся частицы Е = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы Fmax, действующей на частицу.
|
|
Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы:
где w = 2 p/Т. Отсюда амплитуда
(1)
Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F = - kx, где k - коэффициент квазиупругой силы; х - смещение колеблющейся точки.
Максимальной сила будет при максимальном смещении xmax, равном амплитуде:
Fmax = kA. (2)
Коэффициент k выразим через период колебаний:
k = m w2 = m ×4 p2/ T2. (3)
Подставив выражения (1) и (3) и (2) и произведя упрощения, получим
Произведем вычисления:
0,045 м = 45 мм;
Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 75; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!