Метод покоординатной оптимизации
Процесс поиска оптимума методом покоординатной оптимизации для двухмерного случая представлен на рис. 4.6. По этому методу выбирается произвольная точка М0 и определяются ее координаты. Поиск оптимума осуществляется поочередным варьированием каждого из факторов. При этом сначала изменяют один фактор (x1) при фиксированных остальных до тех пор, пока не прекращается прирост функции отклика (точка М1). В дальнейшем изменяется другой фактор (x2) при фиксированных остальных, и далее процедура повторяется.
Данный метод весьма прост, однако при большом числе факторов требуется значительное число опытов, чтобы достичь координат оптимума. Однако, в некоторых случаях (рис. 4.6) этот метод может привести к ложному результату. Поэтому далее рассмотрим более совершенные методы.
Рис.4.6. Поиск оптимума методом покоординатной оптимизации
Метод крутого восхождения
Известно, что кратчайший путь – это движение по градиенту, т.е. перпендикулярно касательным к линиям уровня, на которых функция отклика принимает постоянные значения
В связи с этим при оптимизации рабочее движение целесообразно совмещать в направлении наиболее быстрого возрастания функции отклика, т.е. в направлении градиента функции. Существует несколько модификаций градиентного метода, одним из них является метод крутого восхождения. Сущность его отражена на рис.4.7.
|
|
|
В этом случае шаговое движение осуществляется в направлении наискорейшего возрастания функции отклика, т.е. grad y ( x 1 , x 2 ). Однако направление корректируется не после следующего шага, а при достижении в некоторой точке на данном направлении частного экстремума функции отклика.
Рис. 4.7. Процедура оптимизации методом крутого восхождения.
Пусть в окрестности точки Мо, как центра плана, поставлен ПФЭ 22. Координаты отдельных опытов соответствуют точкам 1-4. По результатам ПФЭ можно рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии:
После чего можно найти градиент
.
Для движения по градиенту необходимо изменять факторы пропорционально их коэффициентам регрессии в сторону, соответствующую знакам коэффициентов. В процессе поиска двигаются в этом направлении, пока не будет найден локальный максимум (т.М1). после чего находят направление градиента, осуществляя ПФЭ, и далее процедура повторяется.
Практически алгоритм сводится к следующей последовательности операций:
1. Планирование и постановка ПФЭ (или ДФЭ) в окрестности точки начального состояния (М0). Расчет коэффициентов линейной регрессии; определении направления градиента.
|
|
|
2. Расчет произведений 
где 
- интервал варьирования факторов при ПФЭ (ДФЭ).
3. Выбор базового фактора 
, у которого 
4. Выбор шага крутого восхождения для базового фактора 
производится на базе априорной информации и опыта исследователя. Следует учесть, что слишком малый шаг потребует значительного числа опытов, а большой – создает опасность проскакивания области оптимума.
5. Расчет шагов изменения других факторов по формуле: 
. Это соотношение между величинами шагов изменения отдельных факторов обеспечивает движение по градиенту в факторном пространстве.
6. Составление плана движения по градиенту: в соответствии с определенными значениями шагов изменения факторов 
Находят координаты опытов 5,6,7. Часть этих опытов проводят «мысленно». «Мысленный» опыт заключается в получении предсказанных (расчетных) значений функции отклика по линейному уравнению регрессии, что позволяет сократить объем реальных опытов. Обычно реальные опыты ставят через 3-4 «мысленных» для того, чтобы подтвердить действительное возрастание отклика. Из опытных данных находят положение локального экстремума.
7. В окрестности локального экстремума ставят новую серию опытов (ПФЭ или ДФЭ) для определения новых значений коэффициентов уравнения регрессии и нового направления градиента. В дальнейшем процедура повторяется до достижения нового локального экстремума и т.д., вплоть до определения окрестности координат максимума функции отклика, которая носит название почти стационарной области.
|
|
|
Признаком достижения этой области является статистическая незначимость коэффициентов 
. В этой области становятся значимыми эффекты взаимодействия и квадратичные эффекты. Здесь требуется переходить от ДФЭ к ПФЭ и к планам второго порядка.
Для задач, где требуется определить координаты не максимума, а минимума функции отклика, знаки следует поменять на обратные. Движение будет происходить в направлении, обратном вектору градиента.
4.13.3. Симплекс-планирование
Позволяет без предварительного изучения влияния факторов найти область оптимума. Т.к. здесь не требуется определение градиента, то этот метод относится безградиентным метода поиска оптимума. Для этого используется специальный план эксперимента в виде симплекса.
Симплекс – простейший выпуклый многогранник, образованный к+1 вершинами в к-мерном пространстве, которые соединены между собой прямыми линиями. При этом координаты вершин симплекса являются значениями факторов в отдельных опытах.
|
|
|
к=2, симплекс- треугольник, к=3 – тетраэдр и т.д.
Симплекс называется правильным, если все расстояния между его вершинами (ребра) равны.
Алгоритм симплекс планирования:
Строится исходный симплекс, проводятся опыты в его вершинах и анализируются результаты.
1. Выбирается вершина, в которой получено наименьшее значение функции отклика. Для движения к оптимуму ставится опыт в новой точке, являющейся зеркальным отображением точки с наихудшим (минимальным) результатом. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдена почти стационарная область.
2. Не смотря на то, что путь может быть и не прямолинеен, общее число опытов может быть не большим.
При симплекс-планировании выбор размеров симплекса и его начальное положение произволен.
Для окончания процесса используются следующие критерии:
1 – разность значений функции отклика в вершинах симплекса становится меньше ранее заданной. Это означает вход в почти стационарную область вблизи оптимума, либо достижения области оптимума в виде «плато»;
2 - отражение любой из вершин симплекса после однократного «качания» приводит к возврату в исходное положение. При этом есть основания считать, что симплекс накрыл область оптимума.
3 – циклическое движение симплекса вокруг одной из его вершин на протяжении более, чем нескольких шагов. Т.е. циркулирует вокруг области оптимума.
В случаях 2 и 3 рекомендуется уменьшать размеры симплекса, т.е. расстояние между вершинами, до уточнения координаты оптимума.
Данный метод прост, но работает не достаточно быстро. Наиболее быстрым является метод, основанный на его модификации - метод деформируемого многогранника.
Ускорение достигается за счет того, что отражение осуществляется не на постоянную величину.
Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 106; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!