Разложение функции отклика в степенной ряд, кодирование факторов

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Если заранее не известно аналитическое выражение функции отклика, то можно рассматривать не саму функцию, а ее разложение, например, в степенной ряд в виде полинома

Y=В₀ + B₁Х₁ + … + B_nХ_n + В₁₂Х₁Х₂ + … В_nn-1Х_nХ_n-1 + В₁₁Х₁ ² + … + В_nnX_n² +….

Разложение в степенной ряд функции возможно в том случае, если сама функция является непрерывной. На практике обычно ограничиваются числом членов степенного ряда и аппроксимируют функцию полиномом некоторой степени.

Факторы могут иметь разные размерности (А, В, Вт, об/мин) и резко отличаться количественно. В теории планирования эксперимента используют кодирование факторов.

X ₂ x ₂

X ₂ _max +1

X₂ _ср -1 о +1 x₁

-1

X_2min

X₁

X_1min X₁ _ср X_1max

Рис. 4.3. Пространство кодированных факторов

Эта операция заключается в выборе нового масштаба для кодированных факторов (рис. 4.3), причем такого, чтобы минимальное значение кодированных факторов соответствовало “-1”, а максимальное значение “+1”, а также в переносе начала координат в точку с координатами Х_1ср, Х_2ср, …, Х_nср

Текущее значение кодированного фактора

, (4.1)

где Х_i – именованное (абсолютное) значение фактора; x_i – кодированное значение фактора; X_icp-X_imin =X_imax-X_icp - интервал варьирования фактора.

Граница совместимости факторов указана на рис. 4.3 в виде кривой линии.

Если фактор изменяется дискретно, например он является качественным, то каждому уровню этого кодированного фактора присваиваются числа в диапазоне от +1 до –1. Так при двух уровнях это +1 и –1, при трех уровнях +1, 0, -1 и т.д.

Функция отклика может быть выражена через кодированные факторы Y=f(x₁,…, х_n) и записана в полиномиальном виде

Y=b₀+b₁х₁+b₂х₂+…+b_nх_n+b₁₂х₁х₂+…+b_nn-1х_n-1х_n+b₁₁х₁²+ …+b_nnх_n²+…. (4.2)

Очевидно, что , но

Y = F ( X ₁ ,…, X_i ,…, X_n ) = f ( x ₁ ,… x_i ,…, х _n ).

Для полинома, записанного в кодированных факторах, степень влияния факторов или их сочетаний на функцию отклика определяется величиной их коэффициента b_i. Для полинома в именованных факторах величина коэффициента В_i еще не говорит однозначно о степени влияния этого фактора или их сочетаний на функцию отклика.

Задача определения коэффициентов уравнения регрессии. Для определения m+1 коэффициента полинома необходимо не менее m+1 уравнений (опытов).

Полученные коэффициенты B позволяют сформировать уравнение функции отклика при m+1 членах уравнения. Если точность этого уравнения оказалась недостаточной, то требуется взять уравнение с большим числом членов и начать все заново так как все коэффициенты B оказываются зависимыми друг от друга. Это возникает при использовании пассивного эксперимента. Однако если целенаправленно использовать активный эксперимент и особым образом построить матрицу сочетаний факторов в опытах Х, использовать планирование эксперимента, то коэффициенты полинома определяются независимо друг от друга.

Стратегия применения планов заключается в принципе постепенного планирования – постепенного усложнения модели. Начинают с простейшей модели, находятся для нее коэффициенты, определяется ее точность. Если точность не удовлетворяет, то планирование и модель постепенно усложняются.

Полный факторный эксперимент

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ). При двух уровнях имеем ПФЭ типа 2^к. Число опытов для данного случая будет равно

Условие эксперимента записываются в виде таблицы. Строки её соответствуют различным опытам (вектор-строка), столбцы - значениям факторов в кодированном виде (вектор-столбцы). Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента (МПЭ).

Составим МПЭ для двумерной модели на двух уровнях 2² (табл.4.1). Число опытов N=2²=4.

Таблица 4.1

Опыт	x₁	x₂	y
1	-1	-1	y₁
2	+1	-1	y₂
3	-1	+1	y₃
4	+1	+1	y₄

План эксперимента можно представить геометрически (рис.4.4.). Для плана 2² каждая комбинация факторов представляет собой вершину квадрата.

В области определения факторов находят точку, соответствующую основному уровню. Через эту точку проводят новые оси координат, параллельно осям натуральных значений факторов. Затем выбирают масштабы по новым осям для каждого фактора согласно выражению (4.1).

Рис. 4.4. Геометрическое представление ПФЭ (на рисунке 4.4. ошибка – по оси ординат «все х – маленькие», кодированные)

В матрицу ПФЭ вводится фиктивный столбец x₀ для учета свободного члена .

Коэффициенты оцениваются согласно выражений

4.6. Свойства полного факторного эксперимента 2^К

К свойствам МПЭ относятся те, которые определяют качество модели, т.е. эти свойства делают оценки коэффициентов модели наилучшими. Первые два свойства вытекают из построения матрицы.

Симметричность относительно центра эксперимента. Алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равно нулю , где j- номер фактора, N - число опытов.

Условие нормировки. Сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов .

Ортогональность матрицы. Сумма почленных произведений любых двух векторов-столбцов матрицы равна нулю , где .

Ортогональные планы делают эксперимент более эффективным.

Ортогональность плана позволяет получить оценки для коэффициентов уравнения регрессии независимые друг от друга. Иными словами ортогональность характеризует отсутствие корреляции между факторами. Однако, если имеет место нелинейность, то столбцы взаимодействий окажутся неразличимы, закоррелироваными с некоторыми столбцами линейных эффектов. Это приводит к тому, что по результатам данного эксперимента становится невозможным разделить коэффициенты регрессии между линейными и нелинейными факторами.

Рототабельные планы - это такие планы, для которых дисперсия одинакова для всех точек пространства переменных x, лежащих на одинаковых расстояниях от центра (все точки плана лежат на окружности (сфере, гиперсфере), центр которой совпадает с центром плана).

Дата добавления: 2020-11-23; просмотров: 102; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!