Матрицы. Основные понятия. Сложение и разность матриц.

Таблица чисел вида

обозначаемая кратко (i = 1, 2, 3, …, m; j = 1, 2, 3, …, n), состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера . Числа называются ее элементами. Это прямоугольная матрица. В частности, когда m = 1, n > 1, мы имеем однострочечную матрицу , которую называют матрицей-строкой. Если же m > 1, n = 1, мы имеем одностолбовую матрицу, которую называют матрицей-столбцом. Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом.

Матрица, в которой все элементы кроме главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, в которой все элементы на диагонали равны 1, называется единичной.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (m = n), то такую матрицу называют квадратной, причем число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. Например, матрица

есть квадратная матрица второго порядка, а матрица

есть квадратная матрица третьего порядка.

Матрицу для краткости будем обозначать одной буквой. Например, буквой A.

Две матрицы A и B называются равными (A = B), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов) и их соответствующие элементы равны. Так, если

и ,

то A = B, если , , , .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну строну от главной диагонали, равны нулю.

Сложение матриц. Матрицы одинакового размера можно складывать.

Суммой двух таких матриц A и B называется матрица C, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц A и B. Символически будем записывать так: A + B = C.

Так, если

и ,

то их суммой называется матрица

Легко видеть, что сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам:

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей и обозначается (0) или просто 0.

Нуль-матрица при сложении матриц выполняет роль обычного нуля при сложении чисел: A + 0 = A

A – A = 0

Вычитание матриц. Разностью двух матриц A и B одинакового размера называется матрица C, такая, что

C + B = A.

Из этого определения следует, что элементы матрицы C равны разности соответствующих элементов матриц A и B.

Обозначается разность матриц A и B так: C= A – B.

Матрица – A = (–1) A называется обратной.

Разность матриц можно записать так: A – B = A + (–1) B.

Матрицы. Основные понятия. Умножение на число и произведение. Элементарные преобразования матриц.

Основные понятия в 6 главе.

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A на число называется матрица, элементы которой равны произведению числа на соответствующие элементы матрицы A.

Отсюда следует, что при умножении матрицы на нуль получается нуль-матрица.

Умножение матриц. Рассмотрим правило умножения двух квадратных матриц второго и третьего порядков. Пусть даны две матрицы

, .

Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C = AB, элементы которой составляются следующим образом:

Это правило сохраняется для умножения квадратных матриц третьего и более высокого порядка, а также для умножения прямоугольных матриц, в которых число столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.

В результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица-множимое, и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.

При умножении матриц второго порядка особое значение имеет квадратная матрица

Матрица E называется единичной матрицей.

При умножении любой квадратной матрицы A второго порядка на матрицу E снова получится матрица A.

Если в матрице A сделать все строчки столбцами с тем же номером, то получим матрицу , называемую транспонированной к матрице A.

Транспонированная матрица обладает свойствами:

Свойства:

1. AB BA. Произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону. Если все же AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными.

2. A( BC) =( AB) C Умножение матриц подчиняется сочетательному закону.

3. Произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.

4. A(B + C) =AB + AC

5. (A + B)C =AC + BC

Дата добавления: 2020-11-15; просмотров: 91; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!