Некоторые свойства преобразования Лапласа
Напомним ряд элементарных свойств преобразования Лапласа, которые будут использоваться в последующем.
1. Изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций. Точнее, если 
и найдены изображения 
и 
то изображение U ( p ) функции u ( t ) равно
Количество слагаемых в сумме может быть любым, и она является в общем случае алгебраической суммой.
2. Изображение функции времени, умноженной на постоянную, равно изображению этой функции, умноженную на ту же постоянную. Иначе говоря, если 
и 
то 
3. Два первых правила можно обобщить: изображение линейной комбинации функций времени равно такой же линейной комбинации изображений этих функций, т.е.
если 
… 
и 
постоянные.
Интегральное преобразование Лапласа (25) является линейным преобразованием и преобразует линейную комбинацию функций времени в линейную комбинацию их изображений с теми же коэффициентами.
Важнейшим свойством преобразования Лапласа является то, что оно переводит производные и первообразные (интегралы с переменным верхним пределом) в алгебраические выражения для изображений.
4. Изображение производной функции времени равно изображению этой функции, умноженному на p, с вычетом начального значения. На языке формул,
(1.26)
если 
5. Изображение интеграла с переменным верхним пределом от функции времени равно изображению подынтегральной функции, деленному на p, т.е.
|
|
|
(1.27)
при условии, что 
Приведем еще для справки изображения нескольких функций времени, часто встречающихся в электротехнике.
6. Изображение экспоненциальной функции
где 
(1.28)
7. Если в последней формуле положить a =0, то получится, что 
С учетом правила 2 получаем, что изображение постоянной есть та же постоянная, деленная на p:
8. 
Все восемь правил можно доказать, применяя интеграл Лапласа (1.25) к соответствующей функции времени.
Законы Кирхгофа для операторных токов и напряжений
Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи в любой момент времени равна нулю. Согласно правилу 1 алгебраическая сумма операторных токов, соответствующая алгебраической сумме переходных токов, должна быть равна нулю. Значит, первый закон Кирхгофа для операторных токов можно сформулировать следующим образом.
| И 1.19 | Алгебраическая сумма операторных токов в любом узле электрической цепи равна нулю. |
Направление переходного тока является одновременно и направлением операторного тока. Правило знаков для операторных токов аналогично правилу знаков для электрических токов: токи, направленные от узла, записываются в алгебраическую сумму с плюсом, а токи, направленные к узлу, - с минусом.
|
|
|
Дополнение. Остановимся на доказательстве первого закона Кирхгофа для операторных токов подробнее. Пусть для некоторого узла записано уравнение 
Выполним преобразование Лапласа над обеими частями этого равенства:
Первый интеграл легко преобразуется в алгебраическую сумму операторных токов, которую следует приравнять нулю:
В уравнениях первого закона Кирхгофа после перехода к операторным токам изменяются только обозначения. Значит, техника составления и применения этих уравнений сохраняется в прежнем виде (как для цепей постоянного тока).
Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма напряжений в любом контуре электрической цепи в любой момент времени равна алгебраической сумме ЭДС в том же контуре в тот же момент времени. Согласно правилу 1 как алгебраическая сумма операторных напряжений, соответствующая алгебраической сумме переходных напряжений, так и алгебраическая сумма операторных ЭДС, соответствующая алгебраической сумме мгновенных ЭДС, соответствуют одной и той же функции времени и равны между собой. Второй закон Кирхгофа для операторных напряжений и ЭДС формулируется следующим образом.
|
|
|
| И 1.20 | Алгебраическая сумма операторных напряжений в любом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС в том же контуре. |
Направление переходного напряжения (или ЭДС) является одновременно и направлением операторного напряжения (или операторной ЭДС соответственно). Правило знаков для операторных напряжений и ЭДС аналогично правилу знаков для переходных напряжений и ЭДС: напряжения (ЭДС) записываются (каждое в свою алгебраическую сумму) с плюсом, если направление напряжения (ЭДС) совпадает с направлением обхода контура или с минусом, если направление напряжения (ЭДС) противоположно направлению обхода контура. Согласование направлений операторных токов и напряжений на элементах цепи подчиняется тем же соглашениям, что и обычные электрические токи и напряжения (Часть I, И 1.25, И 1.26).
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 74; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!