Анализ решения в случае комплексных корней характеристического уравнения
Корни характеристического уравнения становятся комплексными сопряженными числами, если активное сопротивление цепи сделать достаточно малым, тогда
Преобразуем выражение (1.22) для переходного тока, учитывая, что теперь 
(1.23)
Комплексный множитель в предпоследнем выражении преобразован в синусоиду с помощью формул Эйлера (см. Часть I, п.4.1.1). Амплитуда синусоидального тока уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону. График тока (затухающая синусоида) показан на рис. 1.11.
Рис. 1.11. Периодический разряд конденсатора через катушку, 
Если активное сопротивление цепи достаточно мало, то при разряде конденсатора возникают электрические колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени. Переходный процесс практически заканчивается спустя промежуток времени 
Чем меньше сопротивление R, тем дольше продолжаются колебания. Круговая частота колебаний 
их период
Чем меньше активное сопротивление, тем ближе частота свободных колебаний 
к резонансной частоте цепи 
(о резонансе см. Часть I, п. 4.13.2.)
| И 1.13 | При достаточно малом активном сопротивлении цепи переходный процесс носит периодический (колебательный) характер. |
Анализ решения в случае одинаковых действительных корней характеристического уравнения
|
|
|
В критическом случае, когда 
выражения для переходного тока (1.22) и (1.23) обращаются в неопределенность вида 
. Введём сокращенное обозначение 
в формуле (23) и найдем предел
= 
= t
по правилу Лопиталя. Теперь формула (1.23) принимает вид
(1.24)
График переходного тока показан на рис. 1.12.
В интервале (0,∞) ток принимает положительные значения, так как все сомножители в формуле (1.24) положительны. Очевидно, что 
а при 
показательная функция убывает быстрее степенной функции 
значит, при 
ток убывает до нуля. Максимум тока достигается при 
в этой точке 
). Переходный процесс носит апериодический характер и практически заканчивается за промежутком времени 
Рис. 1.12. Апериодический разряд конденсатора через катушку, критический случай 
| И 1.14 | Если корни характеристического уравнения действительные числа, переходный процесс носит апериодический характер. Если эти корни – комплексные числа, переходный процесс носит колебательный характер. |
Определение характера переходного процесса
Если в электрической цепи имеется n реактивных элементов, то характеристическое уравнение системы уравнений Кирхгофа является алгебраическим уравнением, как правило, степени n. Возможны два варианта: 1) все корни этого уравнения – действительные числа, 2) среди корней есть, по меньшей мере, одна пара комплексных сопряженных чисел. В первом случае свободные токи складываются из нескольких экспоненциальных составляющих, переходный процесс носит апериодический характер. Вообще говоря, коэффициенты перед экспонентами могут иметь разные величины и знаки, тогда переходный ток может изменять знак (направление) несколько раз (меньше n) в течение переходного процесса. При этом сильных колебаний обычно не возникает. Во втором случае свободный ток имеет, по меньшей мере, одну синусоидальную составляющую с уменьшающейся по экспоненциальному закону амплитудой. Переходный процесс имеет колебательный характер. Таким образом, результат, полученный для цепи с последовательным соединением катушки и конденсатора, (И 1.14) обобщается на цепи с большим числом реактивных элементов.
|
|
|
| И 1.15 | Если все корни характеристического уравнения – действительные числа, переходный процесс носит апериодический характер. Если среди этих корней имеется хотя бы одна пара комплексных сопряженных корней, переходный процесс имеет колебательный характер. |
|
|
|
В системах автоматического регулирования колебания под действием управляющих сигналов, т.е. в течение переходных процессов, как правило не допускаются. Анализ корней характеристического уравнения системы управления имеет важное значение.
Дата добавления: 2020-04-25; просмотров: 89; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!