Метод решения уравнений путем нетривиальной замены.

Решить уравнение: .

Будем преобразовывать уравнение, выделяя полные квадраты:

Введем новую переменную , тогда уравнение будет выглядеть

следующим образом: . Найдем ОДЗ данного уравнения: .Заметим, что область значений cosa на совпадает с областью значений нашей переменной t . Воспользуемся этим и введем замену .

Тогда уравнение примет вид:

Воспользуемся известными тригонометрическими соотношениями:

Заметим, что при и , тогда уравнение принимает

следующий вид:

Выберем те значения , которые удовлетворяют условию :

целых нет.

Таким образом, удовлетворяет условиям . Обратная замена:

Ответ:

Нестандартные приемы.

Неравенство Коши:

№1.

Преобразуем левую часть уравнения: .

В силу неравенства Коши имеем (х ≥ 0)

Итак, , и знак равенства имеет место при . Проверкой убеждаемся, что оба корня удовлетворяют уравнению. Ответ: 1; 4.

№2.

Область допустимых значений есть промежуток [1;+∞). Применим неравенство Коши:

Следовательно . Неравенство Коши обращается в равенство при a = b , поэтому корень данного уравнения удовлетворяет системе

, которая решений не имеет. Следовательно, корней не имеет и данное уравнение. Ответ: нет корней.

№3.

Любая попытка избавиться от радикалов при помощи возведения в квадрат приведет к уравнению шестой степени (или выше). Поскольку нет надежды алгебраически упростить уравнение, будем действовать по-другому. Перепишем уравнение в виде