Проектировочный расчет на прочность нагруженного стержня
Задача 1.4
Для стержня площадью 
, длиной 
на первом и площадью 
, длиной 
на втором участке (рис.1.1), нагруженного распределенной нагрузкой q и сосредоточенной силой P = qa. E - модуль продольной упругости материала, а 
. Требуется построить эпюры распределения продольного усилия N(x) и функции перемещений 
, а также найти максимальное напряжение 
. Выполнить оценку по условию прочности.
Построение эпюры продольных сил
Решение:
Рис.1.1
1. Определим реакцию в заделке 
из уравнения равновесия: сумма проекций всех сил на ось x стержня равна нулю. Распределенную нагрузку q на длине 
приведём к сосредоточенной 
, отсюда 
.
2. Проверку величины реакции 
выполним по эпюре усилий N(x).
3. Разобьём стержень на два участка и пронумеруем их. Этот пункт выполнен согласно исходным данным.
4. Применим метод сечений, запишем условия равновесия оставшейся части. Используем правило знаков «растягивающая продольная сила считается положительной, если направлена от сечения с координатой x, а сжимающая – отрицательной и направлена к этому сечению».
I участок: 
. Рассмотрим отсеченную часть стержня. Распределенная нагрузка q на длине 
приведена к сосредоточенной 
. Действие отброшенной части заменим продольной силой 
(см. рис.1.20а):
а б
Рис.1.20
, 
=3qa и 
.
Линейное перемещение сечений на участке определяется формулой 
. В нашем случае это будет
.
При x=0: 
, при x=2a: 
, приращение длины на первом участке равно 
. Функция 
является квадратичной, но
она не имеет экстремума. Её производная (функция продольной силы на первом участке) не пересекает ось x, то есть 
, отсюда = 
. Однако, при таком значении x выходит за пределы участка. Возьмем вторую производную по x от функции: 
, следовательно, функция является монотонно возрастающей выпуклостью вверх (навстречу носикам нагрузки 
).
II участок: 
(рис. 1.20б). На отсеченной части распределенную нагрузку приводим к сосредоточенной 
на участке I и записываем уравнение равновесия
.
При 
и 
значение усилия растяжения постоянно 
. Найдем величину максимального удлинения стрежня на длине участка, используя формулу, когда усилие N является константой (при постоянном значении нагрузки, без интегрирования)
.
Однако функция 
линейная, то есть на порядок выше, чем функция нормальной силы, так как 
= 
Полное удлинение стержня равно сумме удлинений на каждом участке, то есть 
.
Построение эпюры внутренних усилий (растяжения)
5. Построение эпюры (графика) силы N(x) выполняется путем откладывания значений усилия N относительно продольной линии, параллельной оси стержня. Значения на ней равны нулю (рис.1.19), положительные откладываются вверх, отрицательные вниз. 
Эпюры функции перемещений 
строим от неподвижной опоры (заделки). Так как изменение координаты x на двух участках происходило от их левой стороны, то при x =0 значения N откладывали по левой стороне участка. При x равном длине участка (на его правой стороне) значения N также откладываются на этой же стороне.
6. Проверка эпюр. Графики внутренних усилий обязательно проверяются по правилам проверки. Так, скачки на величины сосредоточенных сил выполняются ( 
слева равны реакции Rx, а справа 
равно 
). Площадь эпюры N ( x ) на первом участке равна 
числителю эпюры перемещений (перепаду величин на участка 
). Аналогично для второго участка площадь 
эпюры N ( x ) равна перепаду величин числителей на (эпюры перемещений участка 
).
Дата добавления: 2020-04-08; просмотров: 137; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!