Проектировочный расчет на прочность нагруженного стержня
Задача 1.4
Для стержня площадью , длиной на первом и площадью , длиной на втором участке (рис.1.1), нагруженного распределенной нагрузкой q и сосредоточенной силой P = qa. E - модуль продольной упругости материала, а . Требуется построить эпюры распределения продольного усилия N(x) и функции перемещений , а также найти максимальное напряжение . Выполнить оценку по условию прочности.
Построение эпюры продольных сил
Решение:
Рис.1.1
1. Определим реакцию в заделке из уравнения равновесия: сумма проекций всех сил на ось x стержня равна нулю. Распределенную нагрузку q на длине приведём к сосредоточенной
, отсюда .
2. Проверку величины реакции выполним по эпюре усилий N(x).
3. Разобьём стержень на два участка и пронумеруем их. Этот пункт выполнен согласно исходным данным.
4. Применим метод сечений, запишем условия равновесия оставшейся части. Используем правило знаков «растягивающая продольная сила считается положительной, если направлена от сечения с координатой x, а сжимающая – отрицательной и направлена к этому сечению».
I участок: . Рассмотрим отсеченную часть стержня. Распределенная нагрузка q на длине приведена к сосредоточенной . Действие отброшенной части заменим продольной силой (см. рис.1.20а):
а б
Рис.1.20
, =3qa и .
Линейное перемещение сечений на участке определяется формулой . В нашем случае это будет
|
|
.
При x=0: , при x=2a: , приращение длины на первом участке равно . Функция является квадратичной, но
она не имеет экстремума. Её производная (функция продольной силы на первом участке) не пересекает ось x, то есть , отсюда = . Однако, при таком значении x выходит за пределы участка. Возьмем вторую производную по x от функции: , следовательно, функция является монотонно возрастающей выпуклостью вверх (навстречу носикам нагрузки ).
II участок: (рис. 1.20б). На отсеченной части распределенную нагрузку приводим к сосредоточенной на участке I и записываем уравнение равновесия
.
При и значение усилия растяжения постоянно . Найдем величину максимального удлинения стрежня на длине участка, используя формулу, когда усилие N является константой (при постоянном значении нагрузки, без интегрирования)
.
Однако функция линейная, то есть на порядок выше, чем функция нормальной силы, так как = Полное удлинение стержня равно сумме удлинений на каждом участке, то есть .
Построение эпюры внутренних усилий (растяжения)
5. Построение эпюры (графика) силы N(x) выполняется путем откладывания значений усилия N относительно продольной линии, параллельной оси стержня. Значения на ней равны нулю (рис.1.19), положительные откладываются вверх, отрицательные вниз. Эпюры функции перемещений строим от неподвижной опоры (заделки). Так как изменение координаты x на двух участках происходило от их левой стороны, то при x =0 значения N откладывали по левой стороне участка. При x равном длине участка (на его правой стороне) значения N также откладываются на этой же стороне.
|
|
6. Проверка эпюр. Графики внутренних усилий обязательно проверяются по правилам проверки. Так, скачки на величины сосредоточенных сил выполняются ( слева равны реакции Rx, а справа равно ). Площадь эпюры N ( x ) на первом участке равна числителю эпюры перемещений (перепаду величин на участка ). Аналогично для второго участка площадь эпюры N ( x ) равна перепаду величин числителей на (эпюры перемещений участка ).
Дата добавления: 2020-04-08; просмотров: 127; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!