Общие сведения об одноосном растяжении или сжатии прямых стержней

Министерство образования и науки Российской Федерации

Кубанский государственный технологический университет

Кафедра производства строительных конструкций и строительной механики

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Методические указания по выполнению расчетно-графической работы «Расчеты на прочность при одноосном растяжении или сжатии»

для студентов всех форм обучения направления 270800.62 Строительство

Краснодар

2012

Составители: канд. физ.-мат. наук, доц. С.Ю. Молдаванов;

д-р физ.-мат. наук, доц. В.И. Дунаев;

ассист. В.Г. Георгияди

УДК 539.3

Техническая механика:метод. указания по выполнению расчетно-графической работы «Расчеты на прочность при одноосном растяжения или сжатии» для студентов всех форм обучения направления 270800.62 Строительство / Сост.: С.Ю. Молдаванов, В.И. Дунаев, В.Г. Георгияди; Кубан. гос. технол. ун-т. Каф. производства строительных конструкций и строительной механики. – Краснодар: Изд. КубГТУ, 2012. – 44 с.

Приведены краткие теоретические сведения по теме «Расчеты на прочность при одноосном растяжения или сжатии». Рассмотрены: примеры прочностных расчетов как статически определимых, так и статически неопределимых стержней и простейших стержневых систем; примеры расчетов на действие внешних нагрузок, неточности изготовления отдельных элементов и температурных воздействий. Приведены задания к расчетно-графической работе, а также справочные данные.

Ил. 14. Табл. 2. Библиогр.: 7 назв.

Печатается по решению методического совета Кубанского государственного технологического университета

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры ПСКиСМ КубГТУ С.Б. Лозовой;

канд. техн. наук, доц., зав. кафедрой СКиГС КубГТУ М.А. Тамов

ã КубГТУ, 2012

Содержание

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
1 Общие сведения об одноосном растяжении или сжатии прямых стержней. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
2 Расчет на прочность статически определимого ступенчатого стержня. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
3 Расчет на прочность статически неопределимого ступенчатого стержня. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	11
4 Расчет на прочность статически определимой стержневой системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
5 Расчет на прочность статически неопределимой стержневой системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	17
6 Расчет статически неопределимой стержневой системы при многофакторном воздействии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	25
7 Расчёт статически неопределимой стержневой системы на прочность методом разрушающих нагрузок. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	30
8 Задание к расчетно-графической работе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	31
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	38
Приложение А (справочное). Модули упругости и коэффициент Пуассона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	39
Приложение Б (справочное). Коэффициент линейного теплового расширения твердых тел (для температура в интервале от 0 до 100^оС) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	41
Приложение В (справочное). Ориентировочные величины расчетных сопротивлений некоторых материалов на растяжение и сжатие. . . . . .	42
Приложение Г (справочное). Объемная плотность различных материалов (при 20^оС). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	44

Введение

В методических указаниях рассмотрены основные виды расчёта простейших стержневых систем, работающих в условиях одноосного растяжения или сжатия. Для более глубокого понимания предлагаемых примеров решения практических задач студентам необходимо изучить по литературным источникам соответствующие разделы дисциплины «Техническая механика». Особое внимание следует обратить на решения задач приведенных в учебной литературе. Кроме того, следует самостоятельно повторить раздел курса, посвященный определению геометрических характеристик плоских сечений.

Если на стержень действуют внешние нагрузки, равнодействующая которых находится на оси стержня, то стержень продольно деформируется. Такой вид простого сопротивления стержня называется осевым растяжением или сжатием. В поперечных сечениях стержня, работающего в условиях одноосного растяжения или сжатия, возникают только продольные силы.

При расчетах на осевое растяжение или сжатие встречаются как статически определимые, так и статически неопределимые задачи. В статически неопределимых системах число неизвестных, подлежащих определению, превышает число уравнений статики, которые могут быть использованы для этой цели. Разница между числом неизвестных и числом уравнений статики определяет число «лишних» неизвестных, или степень статической неопределимости системы. Для раскрытия статической неопределимости систему уравнений статики дополняют уравнениями, описывающими способность реальных тел сопротивляться деформированию. В данных методических указаниях рассмотрены следующие виды задач:

- проектировочный расчёт на прочность и вычисление перемещений для статически определимой стержневой системы.

- проектировочный расчёт на прочность статически неопределимого стержня при его загружении осевыми силами.

- проектировочный расчёт на прочность статически неопределимой стержневой системы, находящейся под воздействием заданной нагрузки (с учётом заданного изменения температуры стержней, при заданной неточности их изготовления).

- расчёт на прочность стержневой системы по методу разрушающих нагрузок.

В приложениях приведены задания к расчетно-графической работе «Расчеты на прочность при одноосном растяжения или сжатии», а также таблицы, где приведены справочные материалы, которые могут понадобиться студентам в ходе ее выполнения.

Общие сведения об одноосном растяжении или сжатии прямых стержней

В первом разделе будут рассмотрены статически определимые стержни и стержневые системы, внутренние усилия или реакции связей которых можно определить с помощью уравнений статики.

Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает только одно усилие, продольная сила N (растягивающая или сжимающая). При центральном растяжении или сжатии внешние силы, включая опорные реакции или их равнодействующие, направлены вдоль оси стержня.

Определение продольных сил. Метод сечений позволяет определять продольную силу N в поперечном сечении любого грузового участка стержня. Для этого прямой стержень рассекают воображаемой плоскостью нормальной к его продольной оси и мысленно отбрасывают одну из образовавшихся частей. Действие отброшенной части стержня на оставшуюся часть заменяют неизвестной продольной силой N (рис. 1, а). Далее составляют единственное уравнение равновесия . Из этого уравнения определяют значение N. Таким образом, продольная сила в любом сечении стержня равна сумме проекций внешних сил, действующих на его оставшуюся часть, на направление внешней нормали к поперечному сечению.

Правило знаков. Продольную силу N принято считать положительной при растяжении, когда она направлена от сечения. При сжатии, наоборот, продольная сила отрицательна и направлена к сечению.

Эпюра продольных сил представляет собой график, который дает наглядное представление о законе изменения этих сил в пределах каждого грузового участка стержня. По построенной эпюре можно установить положение опасных сечений стержня.

Грузовой участок стержня – это участок, в пределах которого продольная сила изменяется по одному определенному закону. Границами грузовых участков стержня являются точки приложения внешних сил, точки, ограничивающие участки приложения равномерно распределенных нагрузок, действующих вдоль оси стержня, а также точки, где возникают опорные реакции.

Нормальные напряжения. При центральном растяжении или сжатии в поперечных сечениях стержня возникают равномерно распределенные нормальные напряжения (рис. 1, б), равные отношению продольной силы N к площади поперечного сечения

. (1.1)

Эпюра напряжений для стержней постоянного сечения аналогична эпюре продольных сил, а при ступенчатом изменении площади сечения стержней эпюра напряжений имеет скачки не только в местах приложения внешних сил, но и в местах изменения сечения. Это связано с тем, что напряжение обратно пропорционально площади сечения.

Границами участков при построении эпюры напряжений для стержня переменного сечения являются не только места приложения внешних сил, но и места ступенчатого изменения площади сечения.

Оценка прочности элементов конструкции, испытывающих растяжение или сжатие, производится по наибольшему нормальному напряжению. Условие прочности, которое требуется для нормальной эксплуатации конструкции, записывается в виде:

, (1.2)

где – расчетное сопротивление материала (задается в расчетных нормах или в справочниках).

Расчетные сопротивления R связаны с величиной нормативного сопротивление R _п.Оно определяется путем статистической обработки результатов множества натурных наблюдений за изменчивостью прочности соответствующих образцов. Обеспеченность значений нормативных сопротивлений материалов должна составлять не менее 0,95, т.е. чтобы не менее чем в 95 % случаев материал имел прочность, равную или большую, чем . Величина расчетных напряжений определяют путем деления нормативных сопротивлений R _п на коэффициент надежности по материалу > 1,0.

. (1.3)

Коэффициент надежности по материалу учитывает возможные отклонения сопротивлений материалов в неблагоприятную сторону. Численные значения этого коэффициента устанавливаются нормами в зависимости от свойств материалов и статистической изменчивости этих свойств.

Различают нормативное сопротивление по пределу текучести и временному сопротивлению. Первое используют при расчетах конструкций, выполненных из пластичных материалов, для которых опасные напряжения соответствуют пределу текучести . Нормативное сопротивление по временному сопротивлению применяют в расчетах конструкций, изготовленных из хрупких материалов, для которых опасные напряжения соответствуют пределу прочности .

Деформации и перемещения. Напряжения, не превосходящие предела пропорциональности , связаны с относительными деформациями законом Гука

, (1.4)

где - относительная деформация (безразмерная величина);

- абсолютная продольная деформация (удлинение или укорочение участка бруса длиной l с постоянными напряжениями в поперечных сечениях), м;

Е - модуль упругости первого рода (модуль Юнга), Па.

Под действием продольных сил происходит удлинение или укорочение грузовых участков стержня, что приводит к изменению длины всего стержня. Если на грузовом участке продольная сила и площадь поперечного сечения постоянны, то

, (1.5)

где – длина стержня до деформации, м;

– то же, после деформации, м.

Подставляя выражения для и в уравнение (1.4), можно получить формулу для определения абсолютного удлинения стержня.

. (1.6)

В случае, когда величина силы N изменяется в пределах силового участка по известному закону, деформация участка складывается из деформаций бесконечно малых участков , по длине которых величину силы N можно считать постоянной. Тогда, используя выражение (1.6), можно записать

. (1.7)

Полная деформация участка

. (1.8)

Если на участке с постоянным поперечным сечением действует равномерно распределенная продольная погонная нагрузка , то усилие от этой нагрузки будет изменяться по закону

. (1.9)

Подставляя (1.9) в (1.8), получим

. (1.10)

где - равнодействующая равномерно распределенной.

Для стержня, имеющего несколько силовых участков, абсолютное изменение длины стержня определяется как алгебраическая сумма деформаций отдельных силовых участков:

, (1.11)

где - абсолютные деформации соответствующих, определяемые по формуле (1.8) или (1.10).

Перемещение поперечных сечений стержня вдоль его оси обозначается буквой и является следствием деформации отдельных грузовых участков. Если известно перемещение сечения в начале участка, длиной l , то перемещение сечения в конце участка, где действует нормальная сила и приложена равномерно распределенная нагрузка, может быть вычислено по формуле

. (1.12)

Знаки у слагаемых определяются в соответствии с выбранным положительным направлением оси и направлением действия сил.

Отсюда следует, что перемещение поперечных сечений стержня может происходить и на участках не подверженных деформации, как результат влияния деформации соседних силовых участков. Это основное отличительное свойство перемещения от деформации. Определение перемещений по формуле (1.12) начинают от неподвижного конца стержня, т.е. от опорных устройств.

2 Расчёт на прочность статически определимого ступенчатого стержня

Исходные данные и условие задачи

Для заданного ступенчатого статически определимого стержня требуется:

- Построить эпюру продольных сил;

- Записать в общем виде выражения для нормальных напряжений на каждом грузовом участке и из условия прочности при одноосном растяжении или сжатии подобрать необходимую площадь поперечного сечения;

- Построить эпюру распределения нормальных напряжений по длине стержня;

- Построить эпюру перемещений.

Для решения задачи использовать следующие исходные данные: материал стержня - медь с расчетным сопротивлением на растяжение и сжатие МПа и модулем упругости МПа (приложение А); ; ; ; м; кН.

Решение задачи

Рассматриваемый стержень состоит из шести грузовых участков, границами которых являются сечения, где приложены внешние силы и места изменения размеров поперечного сечения. Проводя произвольные сечения в пределах каждого участка стержня и рассматривая его нижнюю часть (отбрасывая часть с заделкой), находим продольные силы на каждом участке стержня, одновременно строя эпюру продольных сил N (рис. 3). По построенной эпюре N можно определить продольную силу, которая возникает в заделке стержня. Ее величина равна 160 кН.

Для определении опасного сечения записываем в общем виде выражения для нормальных напряжений на каждом участке стержня:

Из полученных выражений следует, что максимальное по модулю нормальное напряжение возникает на втором грузовом участке. Записываем условие прочности для опасного участка при одноосном сжатии:

МПа,

отсюда

м² см².

Используя заданные соотношения, можно определить площади поперечного сечения для каждого грузового участка стержня.

Далее выполняем построение эпюры распределения нормальных напряжений по длине стержня. Воспользовавшись ранее записанными выражениями, вычисляем:

МПа; МПа;

МПа.

По полученным значениям строим эпюру распределения нормальных напряжений по длине стержня (рис. 3).

Для построения эпюры относительных перемещений используем закон Гука для абсолютных удлинений.

Эпюру перемещений следует строить, начиная от точки, где эти перемещения известны. В рассматриваемом примере такой точкой является точка О, расположенная в защемлении стержня. Вертикальное перемещение сечения в этой точке равно нулю. Далее находим удлинения грузовых участков.

м мм;