Примеры заданий ЕГЭ с пирамидой

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

Пример 1. Отрезок Р N , равный 8, — диаметр сферы. Точки М, L лежат на сфере так, что объем пирамиды Р N М L наибольший (рис. 22). Найдите площадь треугольника К L Т, где К и Т — середины ребер РМ и N М соответственно.

Решение. Пусть О — центр сферы, а R — ее радиус. Поскольку Р N = 2R = 8 и точки М и L лежат на сфере, то ОР = О L = О N = ОМ = R = 4. Сечения сферы плоскостями Р LN и РМ N — окружности радиуса R = 4,описанные около треугольников Р LN и РМ N , причем РМ N = Р LN = 90°, как вписанные углы, опирающиеся на диаметр Р N .

Пусть Н — высота пирамиды, опущенная из вершины М, а h — высота треугольника Р LN , проведенная к стороне Р N . Поскольку точка М лежит на сфере, а плоскость Р LN содержит центр сферы, то Н R , причем Н = R , если МО Р NL . Аналогично, так как точка L лежит на сфере, то h R , причем h= R , если L О Р N .

Отсюда для объема пирамиды Р N М L имеем

При этом

если .

Таким образом, пирамида Р N М L имеет наибольший объем, если треугольники Р LN и РМ N прямоугольные, равнобедренные с общей гипотенузой Р N, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях. Так как треугольники L О N , L ОР, L ОМ, РОМ, N ОМ равны по двум катетам, то треугольники L М N и L МР правильные со стороной

NL =Р L = ON =4

Отсюда следует, что медианы L К и L Т этих треугольников равны, причем

L К = = 2 .

Треугольник К L Т равнобедренный, и его высота LD является медианой прямоугольного равнобедренного треугольника L ОМ. Отсюда

LD = = 2 .

КТ — средняя линия треугольника РМ N и поэтому КТ = 0,5Р N =R . Следовательно, площадь S _К _L _Т = КТ LD = 4 .

Ответ: 4 .

Рис.23

Пример 2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 5, а боковые рёбра наклонены к основанию под углом 60^о. Найдите радиус, описанной вокруг пирамиды сферы.

Решение. Пусть АВСМ указанная пирамида (см. рис. 23) Центр описанной сферы лежит на высоте пирамиды, т. к. пирамида правильная.

Основание высоты пирамиды – центр треугольника АВС, т. е. точка пересечения медиан. Тогда:

СН= СТ = СН= = = .

Теперь рассмотрим треугольник МНС. Здесь угол МСН равен 60^о, как угол между боковым ребром МС и основанием АВС. Угол НМС равен30 . МО=ОС как радиусы. Значит, треугольник МОСравнобедренный. Как известно, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно,

ОСМ = ОМС = 30 , ОСН = МСН - МСО = 60 - 30 = 30 .

Из прямоугольного треугольника ОСН определим гипотенузу ОС, используя связь тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

ОС = = .

Ответ: OC = .

Примеры заданий ЕГЭ с призмой

Рис.25

Пример 1. Основанием призмы служит треугольник со сторонами a , b , c . Высота призмы h (рис 25). Найти радиус описанной сферы.

Решение. Поскольку около призмы описана сфера, то призма прямая и её боковое ребро равно высоте. Радиус окружности, описанной около основания призмы, вычисляется по формуле