Дифференциальное уравнение электромагнитной волны

Одним из важнейших следствий уравнений Максвелла является существование электромагнитных волн. Для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей  и  переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа (22.13)

,                                     (19)

,                                    (20)

где Δ - Оператор Лапласа, υ –фазовая скорость.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (19) и(20), описывает некоторую волну. Следовательно, электромагнитные поля действительно могут существовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением:

,                        (21)

где  скорость электромагнитной волны, ε₀ и μ₀ - соответственно электрическая и магнитная постоянные, ε  и μ— соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.

В вакууме (при ε = 1 и μ = 1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как εμ > 1, то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.

При вычислении скорости распростра­нения электромагнитного поля по формуле (24.3) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с экспериментальными данными, если учитывать зависимость ε и μ от частоты. Совпадение же размерного коэффициента в (21) со скоростью распространения света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электро­магнитные волны.

Следствием теории Максвелла является поперечность электромагнитных волн: векторы  и  напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (на рис.24.2.) показана моментальная «фотография» плоской электромагнитной волны) и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору v скорости распространения волны, причем векторы ,  и образуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы  и   всегда колеблются в одинаковых фазах (см. рис. 24.2), причем мгновенные значения  и   в любой точке связаны соотношением

.                            (22.)

Следовательно, Е и Н одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т. д.

От волновых уравнений (19)и (20) можно перейти к уравнениям

,                                 (23)

,                               (24)

где соответственно индексы у и z при H и E подчеркивают лишь то, что векторы  и  направлены вдоль взаимно перпендикулярных осейz  и у.

Рис.24.2.

Уравнениям (23) и (24) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями

,                 (25)

,                (26)

где Е₀ и Н₀ — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей, ω— круговая частота волны, k =ω/ u — волновое число, φ— начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0. В уравнениях (25) и (26) φ одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой.

---

Дата добавления: 2019-11-25; просмотров: 135; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!