Затухающие колебания в электрическом колебательном контуре
Лекция 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Свободные электромагнитные колебания
Среди различных колебательных процессов особое место занимают электромагнитные колебания. При электромагнитных колебаниях электрические величины периодически изменяются, и которые сопровождаются взаимными превращениями электрических и магнитных полей. Электромагнитные колебания возникают в колебательном контуре. Колебательные контур состоит из последовательно соединенных конденсатора емкостью С, активного сопротивления R и катушки индуктивности L.(Рис.1)
|
| Рис.1 |
Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало (R~0). Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±q. Тогда в начальный момент времени t = 0 между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого 
. Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки (она равна 
)- возрастать. Так как (R~0).Согласно закону сохранения энергии, полная энергия 
, так как она на нагревание не расходуется.
Поэтому в момент 
, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (следовательно, и ток) достигает наибольшего значения. Начиная с этого момента, ток в контуре будет убывать; следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, и в ней индуцируется ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который, в конце концов, обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума. Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении, и система к моменту времени t = T придет в первоначальное состояние. После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки–зарядки конденсатора. Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, т. е. периодически изменялись (колебались) бы заряд q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I , текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания, причем колебания сопровождаются последовательными превращениями энергии электрического поля в магнитное и наоборот. Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями маятника, сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника.
|
|
|
|
|
|
Согласно закону Ома для контура, содержащего катушку индуктивности L , конденсатор емкостью С, и резистор сопротивлением R
, (1)
где – IR-напряжение на резисторе, 
- напряжение на конденсаторе, 
- э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней электрического тока. (Единственная э.д.с.в контуре).
При замене ε уравнение (1) преобразуется
. (2)
Разделив (2) на L, и учтем, что 
и 
, получим дифференциальное уравнение колебаний заряда q в контуре:
. (3)
В данном колебательном контуре внешняя э.д.с отсутствует, поэтому рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания. При условии, когда R=0. Колебания в контуре свободные и являются гармоническими. Тогда из (21.3) получим дифференциальное уравнение, свободных гармонических колебаний заряда в контуре.
, (4)
где – 
.
Решение такого дифференциального уравнения представлено в виде
|
|
|
, (5)
qmax –амплитуда колебаний электрического заряда на конденсаторе с циклической частотой, 
называемой собственной частотой контура.
Период свободных электромагнитных колебаний определяется формулой Томсона
. (6)
Сила тока в колебательном контуре
, (7)
где 
- амплитуда силы тока.
Напряжение на конденсаторе
, (8)
где 
- амплитуда напряжения.
Из выражений (7) и (8) вытекает, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда q на 
, т.е. когда ток достигает максимального значения, заряд (а также и напряжение) обращается в нуль и наоборот.
Затухающие колебания в электрическом колебательном контуре
При наличии в колебательном контуре активного сопротивления R дифференциальное уравнение затухающих колебаний заряда в колебательном контуре описывается уравнением (3)
Введем коэффициент затухания
. (9)
Уравнение (3) можно переписать в виде
. (10)
Решением данного уравнения является выражение
, (11)
частота ω затухающих колебаний в колебательном контуре, как видно, зависит от параметров контура и описывается уравнением:
|
|
|
. (12)
Логарифмический декремент затухания определяется формулой (11), а добротность электрического контура также определяется его параметрами
. (13)
При увеличении коэффициента затухания δ период затухающих колебаний растет и при 
превращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина стремится к нолю. Такой процесс называется апериодическим. В технике это называется демпфированием.
Стрелки измерительных приборов (вольтметров, амперметров, индикаторов уровня) обычно соединяются с демпферами, которые обеспечивают плавное затухание критических отклонений. Если бы демпфирование было слишком слабым, то стрелка долго колебалась бы, прежде чем установиться на определенном значении. Если бы оно было очень велико, то стрелка медленно бы ползла к правильному значению и не успевала отслеживать быстрые изменения уровня записи.
Дата добавления: 2019-11-25; просмотров: 286; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!