Этапы математического моделирования СУ
МОДУЛЬ 2. МОДЕЛИ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА ССУ ПРИ АВТОМАТИЗАЦИИ ЭТАПА ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ТЕМА 3. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДСТВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ (ССУ)
Модельное представление систем управления и элементов ССУ как объектов проектирования
Модельное представление СУ и элементов ССУ как объектов проектирования. Классификация моделей СУ как объектов проектирования. Этапы математического моделирования СУ. Математические модели систем управления. Математические модели устройств СУ. Математические модели элементов устройств СУ.
Модельное представление СУ и элементов ССУ как объектов проектирования
Модельное представление систем управления и элементов ССУ при автоматизированном проектировании является частью математического обеспечения САПР и составляет основу математического обеспечения CALS- технологий в рамках единой информационной модели ССУ как объекта проектирования. Разработка обобщенной математической модели ССУ является очень трудоемкой задачей, решение которой в рамках блочноиерархического подхода к проектированию состоит в формировании математического описания ССУ для функционального, конструкторского и технологического проектирования и интеграции каждого из описаний в единую информационную модель. В данной лекции будем рассматривать математическое описание ССУ для этапа функционального проектирования, как базового компонента математического обеспечения CAE-систем.
|
|
|
Понятие математической модели (ММ), как и ряд других понятий, используемых в математическом моделировании, не имеет строгого формального определения. Тем не менее в это понятие вкладывают вполне конкретное содержание, с которым, в частности, тесно связано применение математики в инженерной практике. Более того, такие научные дисциплины, как механика, физика и их многочисленные разделы, являются по существу упорядоченными множествами ММ, построение которых сопровождается теоретическим обоснованием адекватного отражения этими моделями свойств рассматриваемых процессов и явлений. Именно посредством ММ научные дисциплины взаимодействуют с математикой.
В достаточно общем случае изучаемую техническую систему (ТС) и СУ, в частности, количественно можно охарактеризовать векторами внешних Q, внутренних X и выходных Y параметров соответственно. Одни и те же физические, механические или информационные характеристики ТО в моделях различного уровня и содержания могут выполнять роль как внешних или внутренних, так и выходных параметров.
Например, для электронного усилителя выходными параметрами являются коэффициент усиления, полоса частот пропускаемых сигналов, входное сопротивление, рассеиваемая мощность, внешними – сопротивление и емкость нагрузки, напряжения источников питания, температура окружающей среды, а внутренними – сопротивления резисторов, емкости конденсаторов, характеристики транзисторов. Но если в качестве ТС рассматривать отдельно взятый транзистор, то такие его характеристики, как отпирающее напряжение и коллекторный ток, следует уже отнести к его выходным параметрам<025F02, а в качестве внешних надо будет рассматривать токи и напряжения, задаваемые коммутирующими с ним элементами усилителя.
|
|
|
При создании ТС значения выходных параметров или диапазоны их возможного изменения оговаривают в техническом задании на разработку ТС, тогда как внешние параметры характеризуют условия ее функционирования. В сравнительно простом случае математическая модель (ММ) ТС может представлять собой соотношение [12]:
Y = F (X, Q). (4.1)
Теоретический путь построения ММ состоит в установлении связи между Y, X и Q в виде операторного уравнения
L(V(Z)) = 0, (4.2)
где L – некоторый оператор (в общем случае нелинейный), 0 – нулевой элемент пространства, в котором действует этот оператор, Z – вектор независимых переменных, в общем случае включающий время и пространственные координаты, а V – вектор фазовых переменных, включающий те параметры ТС, которые характеризуют ее состояние. Но даже если возможно получить решение (4.2) и найти зависимость V от Z, то далеко не всегда удается представить ММ ТС в явном относительно вектора V виде. Поэтому именно (4.2) определяет в общем случае структуру ММ ТО, а (4.1) является более простым частным случаем такой модели.
|
|
|
Различные особенности и признаки математических моделей (ММ) лежат в основе их типизации (или классификации). Среди таких признаков выделяют характер отображаемых свойств технической системы, степень их детализации, способы получения и представления ММ. Один из существенных признаков классификации связан с отражением в ММ тех или иных особенностей ТС. Если ММ отображает устройство ТС и связи между составляющими его элементами, то ее называют структурной математической моделью. Если же ММ отражает происходящие в ТС физические, механические, химические или информационные процессы, то ее относят к функциональным математическим моделям. Ясно, что могут существовать и комбинированные ММ, которые описывают как функционирование, так и устройство ТС. Такие ММ естественно называть структурно- функциональными математическими моделями [6; 7; 12].
|
|
|
Структурные ММ делят на топологические и геометрические, составляющие два уровня иерархии ММ этого типа. Первые отображают состав ТС и связи между ее элементами.
Топологическую ММ целесообразно применять на начальной стадии исследования сложной по структуре ТС, состоящего из большого числа элементов, прежде всего для уяснения и уточнения их взаимосвязи. Такая ММ имеет форму графов, таблиц, матриц, списков и т. п., и ее построению обычно предшествует разработка структурной схемы ТС.
Геометрическая ММ дополнительно к информации, представленной в топологической ММ, содержит сведения о форме и размерах ТС и ее элементах, об их взаимном расположении в пространстве. В геометрическую ММ обычно входят совокупность уравнений линий и поверхностей и алгебрологические соотношения, определяющие принадлежность областей пространства телу ТС или ее элементам. Такую ММ иногда задают координатами некоторого множества точек, по которым интерполированием можно построить ограничивающие область линии или поверхности. Границы области задают и кинематическим способом: линию – как траекторию движения точки, а поверхность – как результат перемещения линии. Возможно представление формы и размеров области совокупностью типовых фрагментов достаточно простой конфигурации. Такой способ характерен, например, для метода конечных элементов, широко используемого в математическом моделировании. Геометрические ММ находят применение при конструкторском проектировании ТС в CAD/CAM-системах, разработке технической документации и технологических процессов изготовления деталей (например, на станках с числовым программным управлением).
Функциональные ММ состоят из соотношений, связывающих между собой фазовые переменные, т. е. внутренние, внешние и выходные параметры ТC. Функционирование сложных ТC нередко удается описать лишь при помощи совокупности его реакций на некоторые известные (или заданные) входные воздействия (сигналы). Такую разновидность функциональной ММ относят к типу черного ящика и обычно называют имитационной математической моделью, имея в виду, что она лишь имитирует внешние проявления функционирования ТC, не раскрывая и не описывая существа протекающих в нем процессов. Имитационные ММ находят широкое применение в технических объектах.
По способу получения математические модели (ММ) делят на теоретические и эмпирические. Первые получают в результате изучения свойств системы и протекающих в ней процессов, а вторые – это итог обработки результатов наблюдения внешних проявлений этих свойств и процессов. Один из способов построения эмпирических ММ заключается в проведении экспериментальных исследований, связанных с измерением фазовых переменных и в последующем обобщении результатов этих измерений в алгоритмической форме или в виде аналитических зависимостей. Поэтому эмпирическая ММ по форме представления может содержать признаки как алгоритмической, так и аналитической математической модели. Следовательно, построение эмпирической ММ сводится к решению задачи идентификации.
При построении теоретических ММ прежде всего стремятся использовать известные фундаментальные законы сохранения таких субстанций, как масса, электрический заряд, энергия, количество движения и момент количества движения. Кроме того, привлекают определяющие соотношения (или уравнения состояния, в роли которых могут выступать так называемые феноменологические законы (например, уравнение Клапейрона – Менделеева – состояния совершенного газа, закон Ома о связи силы тока в проводнике и падения электрического напряжения, закон Гука о связи деформации и механического напряжения в линейно упругом материале, закон Фурье о связи градиента температуры в теле с плотностью теплового потока и т. п.).
Сочетание теоретических соображений качественного характера с обработкой результатов наблюдения внешних проявлений свойств изучаемой системы и ее элементов приводит к смешанному типу ММ, называемых полуэмпирическими. При построении таких ММ используют основные положения теории размерностей, в том числе так называемую П-теорему (Пи- теорему): если между n-параметрами, характеризующими изучаемый объект, существует зависимость, имеющая физический смысл, то эту зависимость можно представить в виде зависимости между n = n – k их безразмерными комбинациями, где k – число независимых единиц измерения, через которые можно выразить размерности этих параметров. При этом n определяет число независимых (не выражаемых друг через друга) безразмерных комбинаций, обычно называемых критериями подобия.
Объекты, для которых равны значения соответствующих критериев подобия, считают подобными. Например, любой треугольник однозначно определен длинами a, b и с его сторон, т. е. п = 3, a k = 1. Поэтому, согласно П-теореме, множество подобных треугольников можно задать значениями n – = n – k = = 2 критериев подобия.
Для успешного применения П-теоремы к построению моделей технических систем необходимо располагать полным набором параметров, описываемых на аргументированный качественный анализ тех свойств и особенностей, влияние которых существенно в данном конкретном случае. Такой анализ необходим при любом способе построения ММ.
Этапы математического моделирования СУ
Для обсуждения и обоснования основных подходов к разработке проблем математического моделирования средств и систем управления и процессов в них представляется целесообразным предварительно рассмотреть условную схему (рис. 4.1), определяющую последовательность проведения отдельных этапов общей процедуры вычислительного эксперимента [12].
Исходной позицией этой схемы служит технический объект (ТО), под которым будем понимать конкретное техническое устройство, его агрегат или узел, систему устройств, процесс, явление или отдельную ситуацию в какой-либо системе или устройстве.
На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого (разрабатываемого или существующего) ТО к его расчетной схеме (PC).
При этом в зависимости от направленности вычислительного эксперимента и его конечной цели акцентируют те свойства, условия работы и особенности ТО, которые вместе с характеризующими их параметрами должны найти отражение в PC, и, наоборот, аргументируют допущения и упрощения, позволяющие не учитывать в PC те качества ТО, влияние которых предполагают в рассматриваемом случае несущественным. Иногда вместо PC используют термин «содержательная модель ТО», а в некоторых случаях – «концептуальная модель». В сложившихся инженерных дисциплинах (например, в сопротивлении материалов, электротехнике и электронике) помимо описательной (вербальной) информации для характеристики PC разработаны специальные приемы и символы наглядного графического изображения. По ряду новых направлений развития техники подобная символика находится в стадии формирования [11].
При разработке новых ТО успешное проведение первого этапа в значительной мере зависит от профессионального уровня инженера, его творческого потенциала и интуиции. Полнота и правильность учета в PC свойств ТО, существенных с точки зрения поставленной цели исследования, являются основной предпосылкой получения в дальнейшем достоверных результатов математического моделирования. И наоборот, сильная идеализация ТО ради получения простой PC может обесценить все последующие этапы работы.
Содержание второго этапа состоит в формальном, математическом описании PC. Это описание в виде математических соотношений, устанавливающих связь между параметрами, характеризующими PC TO, и называют математической моделью (ММ).
Для некоторых типовых PC существуют банки ММ, что упрощает проведение второго этапа. Более того, одна и та же ММ может соответствовать PC из различных предметных областей. Однако при разработке новых ТО часто не удается ограничиться применением типовых PC и отвечающих им уже построенных ММ. Создание новых ММ или модификация существующих должны опираться на достаточно глубокую математическую подготовку и владение математикой как универсальным языком науки.
На третьем этапе проводят качественный и оценочный количественный анализ построенной ММ. При этом могут быть выявлены противоречия, ликвидация которых потребует уточнения или пересмотра PC (штриховая линия на рис. 4.1). Количественные оценки могут дать основания упростить модель, исключив из рассмотрения некоторые параметры, соотношения или их отдельные составляющие, несмотря на то, что влияние описываемых ими факторов учтено в PC. В большинстве случаев, принимая дополнительные по отношению к PC допущения, полезно построить такой упрощенный вариант ММ, который позволял бы получить или привлечь известное точное решение. Это решение затем можно использовать для сравнения при тестировании результатов на последующих этапах. В некоторых случаях удается построить несколько ММ для одного и того же ТО, отличающихся различным уровнем упрощения. В этом случае говорят об иерархии ММ, что означает упорядочение ММ по признаку их сложности и полноты. Построение иерархии ММ связано с различной детализацией свойств изучаемого ТО. Сравнение результатов исследования различных ММ может существенно расширить и обогатить знания об этом ТО. Кроме того, такое сравнение позволяет оценить достоверность результатов последующего вычислительного эксперимента: если более простая ММ правильно отражает некоторые свойства ТО, то результаты исследования этих свойств должны быть близки к результатам, полученным при использовании более полной и сложной ММ.
Итог анализа на рассматриваемом этапе – это обоснованный выбор рабочей ММ ТО, которая подлежит в дальнейшем детальному количественному анализу. Успех в проведении третьего этапа зависит, как правило, от глубины понимания связи отдельных составляющих ММ со свойствами ТО, нашедшими отражение в его PC, что предполагает органическое сочетание владения математикой и инженерными знаниями в конкретной предметной области.
Четвертый этап состоит в обоснованном выборе метода количественного анализа ММ, в разработке эффективного алгоритма вычислительного эксперимента, а пятый этап – в создании работоспособной программы, реализующей этот алгоритм средствами вычислительной техники. Для успешного проведения четвертого этапа необходимо владеть арсеналом современных методов вычислительной математики, а при математическом моделировании довольно сложных ТО выполнение пятого этапа требует профессиональной подготовки в области программирования на ЭВМ.
Получаемые на шестом этапе (в итоге работы программы) результаты вычислений должны прежде всего пройти тестирование путем сопоставления с данными количественного анализа упрощенного варианта ММ рассматриваемого ТО. Тестирование может выявить недочеты как в программе, так и в алгоритме и потребовать доработки программы или же модификации и алгоритма, и программы. Анализ результатов вычислений и их инженерная интерпретация могут вызвать необходимость в корректировке PC и соответствующей ММ. После устранения всех выявленных недочетов триаду «модель – алгоритм – программа» можно использовать в качестве рабочего инструмента для проведения вычислительного эксперимента и выработки на основе получаемой количественной информации практических рекомендаций, направленных на совершенствование ТО.
Представленная последовательность этапов носит общий и универсальный характер, хотя в некоторых конкретных случаях она может и несколько видоизменяться. Если при разработке ССУ можно использовать типовые PC и ММ, то отпадает необходимость в выполнении ряда этапов, а при наличии и соответствующего программного комплекса процесс проектирования становится в значительной степени автоматизированным. Однако математическое моделировании объектов, не имеющих близких прототипов, как правило, связано с проведением всех этапов описанного «технологического цикла».
Для математического описания СУ можно также классифицировать математические модели по степени детализации СУ как сложной системы в соответствии с трехуровневым представлением (рис. 4.2, а): ММ всей СУ как сложной системы P; ММ устройств СУ – средств управления – как отдельных систем Ai ; ММ элементов этих устройств как подсистем Bij [4].
На рис. 4.2, б для иллюстрации такой иерархии ММ показаны уровни и соответствующие формы ММ: для САУ ЛА, например, гиростабилизатора) и чувствительного элемента гиростабилизатора – гироблока с гироскопом на «газовом подвесе».
Дата добавления: 2019-11-25; просмотров: 286; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!