Перпендикулярность прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью

Задание 1

В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 900. Прямая ВD перпендикулярна к плоскости АВС. Докажите, что СD перпендикулярна АС.

Задание № 2.

Решение:

Пусть К - середина ребра АВ.

Так как треугольники ADB и ACB равнобедренные, то

КС - __________________ в треугольнике АСВ,

а KD - ________________ в треугольнике ADB.

Следовательно, АВ_____________________KD,

АВ_____________________KC.

Поэтому, АВ______________________ сечению KDC,

так как АВ_____________двум пересекающимся прямым KD и KC, лежащим в плоскости этого сечения.

Отсюда АВ_________________ и любой другой прямой в плоскости сечения KDC, в частности, прямой CD.

Практические занятия

Взаимное расположение прямых в пространстве

Вариант I	Вариант II
▲1. Пользуясь данным рисунком, назовите: а) четыре точки, лежащие в плоскости SAB; б) плоскость, в которой лежит прямая MN; в) прямую, по которой пересекаются плоскости SAC и SBC.	▲1. На рисунке прямая МА перпендикулярна плоскости АВС. Известно, что МС=8 см, угол между прямыми АС и МС равен 30⁰, МВ= см. Найдите угол между прямой МВ и плоскостью АВС.
▲2. Под углом φ к плоскости α проведена наклонная. Найдите φ, если известно, что проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной.	▲2. Отрезок ВМ перпендикулярен к плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что прямая CD перпендикулярна к плоскости MBC.
■3. Ребро куба АВС DA₁ B₁ C₁ D₁ равно 2 см. Найдите расстояние между прямыми AB и B₁ D.	■3. Треугольник АВС и квадрат АЕFC не лежат в одной плоскости. Точки К и М – середины отрезков АВ и ВС соответственно. а) Докажите, что КМ \|\| ЕF. б) Найдите КМ, если АЕ=8 см.
■ 4. Через вершины А и В ромба АВС D проведены параллельные прямые А₁А и В₁В, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что В₁В ⊥ВС, В₁В ⊥АВ. Найдите АА₁, если А₁С=13 см, В D=16 см, АВ=10 см.	■ 4. В треугольнике АВС через точку В к плоскости треугольника проведен перпендикуляр ВD длиной 15 см. АВ=ВС=10 см, АС=12 см. а) Укажите проекцию треугольника DBC на плоскость АВС. б) Найдите расстояние от точки D до прямой АС.

Сечения куба плоскостью

Решение задач на параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Угол между двумя плоскостями. Перпендикулярность плоскостей

В предложенных заданиях следует правильно заполнить пропуски.

Задание №1.

Решение:

1. Так как АВ ⊥α, то АВ_____________________________ ВС и

АВ_____________________________ ВD.

Следовательно, ∆ АВС и ∆ АВ D - ______________________________.

По теореме Пифагора для ∆АВС: АВ²=____________________ (1)

По теореме Пифагора для ∆АВD: AB²= ____________________ (2)

Приравняем правые части выражений (1) и (2), получим равенство (3):

______________________=____________________ (3)

2. По условию СВ : В D = 7 : 1, следовательно СВ = 7 В D.

3. Подставим в равенство (3) вместо СВ выражение, полученное в пункте 2. Следовательно, АС²- (7BD)²= AD²- BD². Подставив данные из условия задачи, получаем 37²- (7BD)²= 13²- BD²

Решив уравнение, имеем: BD=___ cм.

11. Подставим найденное значение, например в выражение (1),

и найдем АВ: АВ=_________ см.

ОТВЕТ: АВ=_____ см.

Задание №2.

Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно, что BD =9 см, АС=10 см, ВС=ВА=13 см. Найдите:

А) расстояние от точки D до прямой АС;

Б) площадь треугольника АС D .

Дано:

∆АВС

BD⊥(ABC)

BD=9 см

AC=10 см

BC=BA=13 см

Найти:

а) расстояние от точки D до АС

б) S_∆_ACD.

Решение:

а) 1. DB – перпендикуляр к плоскости АВС, следовательно,

DС и DA - _________________,

так как ВА=ВС - ______________________, то DA=DC.

2. ∆ DAC-________________________, DK- высота, медиана и биссектриса,

DK - расстояние от точки D до АС.

3. Рассмотрим ∆ BK А, ∠K=90⁰.

Применив теорему Пифагора, получаем:

Следовательно, ВК=_____ см.

6. Рассмотрим ∆ DBK, ∠B=90⁰. Следовательно, по теореме Пифагора:

DK=_________ cм.

б) S _∆ _ACD =

S _∆ _ACD=______________________=_________ (см²).

ОТВЕТ: а) _________ см, б)___________ см².

Решение задач на вычисление расстояний в пространстве

1. Дан куб ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁.

Каково взаимное расположение прямых B А₁ и AC? (рисунок + пояснения)

2. Дан куб ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁.

Выясните взаимное расположение прямых и плоскостей (рисунок + пояснения):

а) АА₁и ( DC ₁ B );

б) АА₁ и ( BB ₁ D ₁ ).

3. Дан тетраэдр ABCD. В его основании лежит треугольник CBA с прямым углом ACB. Известно, что BD перпендикулярно BC, а CD перпендикулярно А C.

а) Докажите, что

б) Найдите S _ABD, если AD=25 см, AB=24 см.

4. Через вершину К треугольника DKF проведена прямая KM, перпендикулярная к плоскости этого треугольника.

Известно, что KM =15 см, DF =12 см, DK = FK =10 см. Найдите расстояние от точки M до прямой DF ?

Решение задач на перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

Решение задач профильной направленности

Составить кроссворд на тему: « Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»

Целые и рациональные числа

Действительные числа

Понятие комплексного числа

Практические занятия

Приближенное значение. Абсолютная и относительная погрешности.

Дата добавления: 2019-11-25; просмотров: 187; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!