Длина вектора не зависит от его расположения в системе координат, поэтому отложим вектор от начала координат.

является радиус-вектором точки А. Следовательно, точка А имеет те же координаты, что и .

.

Рассмотрим Δ АВО: Ð В = 90 °; ОВ = х; АВ = у; ОА= .

По теореме Пифагора: ОА²= ОВ² + АВ².                  ; .

Правило: Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

;

.

Задача:

Дано: ; А₁(х₁; у₁); А₂(х₂; у₂).  

Определить: А₁А₂ - ?  

Решение:

Две точки плоскости определяют вектор. Рассмотрим расстояние А₁А₂ как длину вектора : А₁А₂ = .

Определим координаты : .

Определим длину : А₁А₂ = .

А₁А₂ = .

Правило: Расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.

;

.

10. Деление отрезка пополам

                                                   

Правило: Координаты точки М , делящей отрезок АВ  пополам, определяются по формулам:

: ; ; где А (х₁; у₁); В (х₂; у₂).

: ; ; ; где А (х₁; у₁; z₁); В (х₂; у₂; z₂).

Упражнения:

1. Определить длину медианы  СМ в Δ АВС, если А (3; 1), В (1; 3), С (0; 2).

2. Определить периметр Δ АВС, если А (4; 0), В (7; 4), С ( - 4; 6).

3. Точка С ( - 2; 3)  делит отрезок АВ  пополам. Определить координаты точки А, если В ( - 3; - 2).

 

 

11. Понятие скалярного произведения векторов

Понятие скалярного произведения векторов

Определим угол между двумя произвольными векторами:

Определение: Углом между векторами и   называется угол между векторами и , отложенными от одной точки, где , .

Вывод:

1. Если , то .

2. Если , то .

3. .

Определение: Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Вывод:

1. Если   или , то .

2. Если , то , где - скалярный квадрат .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

; .

3. Если , то , так как .

Если , то , так как .

Признак перпендикулярности двух ненулевых векторов

Признак : Чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

, где .

1) Необходимость: .

Доказательство: .

2) Достаточность: .

Доказательство:

Определение скалярного произведения векторов, заданных координатами

Задача:

Дано: ;  ; .          

Определить: - ?

Решение:

Разложим данные векторы по ортам и перемножим:

; .

;     ;

;

, , так как ; ;

; .

Вывод: Скалярное произведение двух векторов, заданных координатами, равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

:  , где , .

:  , где , .

Определение угла между векторами

                                                                   

Определить косинус угла между векторами можно с помощью формулы скалярного произведения двух векторов. А угол между векторами можно определить с помощью таблиц или калькулятора.

                 

Вывод:

: .

: .

Пример:

Дано: ; ; А ( - 2; 3);  В ( 0; 8);  С ( 5; 3); D ( 10; 5);

Определить: - ?

Решение:

1)  по определению ;

2) Определим координаты   по правилу:

;

;

3) Определим координаты  по правилу: ;

4) Определим длину : ; ;

5) Определим скалярное произведение   по правилу: ;

6) Определим :

; j = 45 °.

Ответ: j = 45 °.

 

Упражнения:

1. Определить скалярное произведение   и .

2. Определить косинус угла между  и .

3. Определить косинус угла между   и .

4. Определить длину , если .

5. Определить углы треугольника АВС, если А (5; 0; 0), В (1; 1; 1), С (3; - 1; 2).

6. Скалярное произведение двух коллинеарных векторов   равно 3. Определить координаты , если .

7.   перпендикулярен . Определить координаты , если .

12. Упражнения по теме «Векторы на плоскости и в пространстве»

1. Даны точки А (0; 1), В (1; 0), С (1; 2), D (2; 1). Доказать равенство .

2. Даны три точки А (1; 1), В ( -1; 0), С (0; 1). Найти такую точку D (х; у), чтобы .

3. Абсолютная величина   равна 13. Определить т.

4. Абсолютная величина   равна 25. Определить к.

5. Даны   и . Определить абсолютную величину ; ; .

6. Найти единичный вектор, коллинеарный , одинаково с ним направленный.

7. Определить расстояния от точки М (1; 2; - 3) до координатных плоскостей, осей координат, начала координат.

8. В плоскости (х; у) определить точку D (х; у; 0), равноудаленную от трех данных точек А (0; 1; - 1), В ( - 1; 0; 1), С (0; - 1; 0).

9. Даны четыре точки: А (2; 7; - 3), В (1; 0; 3), С ( - 3; - 4; 5), D ( - 2; 3; - 1). Указать среди векторов   равные векторы.

10.  Даны три точки А (1; 0; 1), В ( - 1; 1; 2), С (0; 2; - 1). Найти точку D (х; у; z), если известно, что 1) ; 2) .

11.  При каких значениях т и п данные векторы коллинеарны:

а)    и ;            б)    и ?

12. При каком значении п данные векторы перпендикулярны:

а)    и ;           б)    и ?

13. Даны четыре точки: А(0; 1; - 1), В(1; - 1; 2), С(3; 1; 0), D(2; - 3; 1). Определить косинус угла между .

14. Даны три точки А(0; 1; - 1), В(1; - 1; 2), С(3; 1; 0). Определить косинус угла С треугольника АВС.

Контрольные вопросы по теме

«Векторы на плоскости и в пространстве»

 

---

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 368; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!