Банк задач для самостоятельной работы
Задача 1. Выразить объем V правильной четырехугольной пирамиды как функцию ее высоты х и бокового ребра у.
Ответ. V = 
(y2 – x2) × x.
Задача 2. Выразить площадь S треугольника как функцию его трех сторон х, y, z.
Ответ. S = 
.
Задача 3. Выразить объем z конуса как функцию его образующей х и высоты у.
Ответ. z = 
(x2 y – y3).
Задача 4. Найти значение функции:
а) z = esin (x+y) при х = у = 
,
б) z = 
+ 
при х = 1, y = 2.
Ответ. а) 1; б) 2.
В задачах 5 – 7 изобразить график функции двух переменных и указать ее область определения.
5. z = 1 + x2 + y2.
6. z = 
.
7. z = 
.
В задачах 8 – 14 найти и изобразить области определения функций.
8. z = x + 
.
9. z = 
.
10. z = arcsin 
+ 
.
11. z = ln [x ln (y-x)].
12. u = 
+ + 
.
13. u = arcsin x + arccos y + arcsin z.
14. u = 
.
Ответы. 5. Плоскость ХОУ. 6. Внутренность круга с границей х2 + у2 = 4. 7. Внешность круга с границей
х2 + у2 = 1.
8. Полуплоскость у ³ 0. 9. Внешность круга х2 + у2 > 1.
10. Две полосы 
и 
.
11. Открытая область 
и 
.
12. Первый октант, включая границы. 13. Куб, ограниченный плоскостями х = ± 1, у = ± 1, z = ± 1. 14. Шар радиуса 1, включая границу.
В задачах 15 – 23 найти пределы.
15. 
. Ответ. ln 2.
16. 
. Ответ. 3.
17. 
. Ответ. ¥.
18. 
. Ответ. 2.
19. 
. Ответ. 0.
20. 
. Ответ. еk.
21. 
. Ответ. 1.
22. 
. Ответ. Не существует.
23. 
. Ответ. Не существует.
В задачах 24 – 27 указать геометрическое место точек разрыва функций.
24. z = ln 
.
25. z = 
.
26. z = 
.
27. z = 
..
Ответы. 24. Точка разрыва (0, 0).
25. Линия разрыва у = х.
26. Линия разрыва х2 + у2 = 1.
27. Линия разрыва у2 = 2х.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Теоретические сведения
Как определяются частные производные
Функции двух переменных ?
Пусть в некоторой области D задана функция двух переменных z = f (x, y) и пусть М0 (x0, y0) – некоторая внутренняя точка области D. Дадим независимому переменному х приращение D х = х – х0, тогда функция z получит так называемое частное приращение по х:
Dх z = f (x0 + D x, y0) – f (x0, y0).
Определение. Частной производной от функции
z = f (x, y) в точке М0 (х0, y0) по независимой переменной х называется конечный предел отношения частного приращения Dх z по х к приращению D х при стремлении D х к нулю и обозначается одним из символов:
, 
, 
, z¢x.
Итак, по определению:
= 
= 
.
Аналогично определяется частная производная по у:
= 
= 
.
Понятия частных производных для функций другого числа переменных даются аналогично.
Например, функция u = f (x, y, z) будет иметь три частные производные: 
, 
, 
, а функция n – переменных
F (x1, x2, …, xn) будет иметь n частных производных первого порядка. При этом, чтобы найти частную производную по одной из переменных (хi), нужно все остальные независимые переменные считать постоянными и вычислять производную по хi как от функции одного независимого переменного хi.
В чем заключается геометрический смысл
Частных производных ?
Пусть функция z = f (x, y) определена в области D и точка М0 (x0, y0) – внутренняя точка в D. Уравнение z = f (x, y) задает некоторую поверхность. Если провести плоскость у = у0, то сечение этой плоскости с поверхностью представляет собой некоторую линию, причем точка с координатами
Р (х0, y0, z (x0, y0)) принадлежит этой линии.
Определение 1. Частная производная в точке
М0 (x0, y0) численно равна тангенсу угла наклона касательной к сечению поверхности z = f (x, y) плоскостью у = у0.
Определение 2. Частная производная в точке
М0 (x0, y0) численно равна тангенсу угла наклона касательной к сечению поверхности z = f (x, y) плоскостью х = х0.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 186; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!