Экстремум функции многих переменных
Точка 
называется точкой максимума (минимума) функции 
, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек 
из этой окрестности выполняется неравенство 
( 
).
Экстремум функции носит локальный характер, поскольку речь идет о малой окрестности точки .
Теорема (необходимое условие экстремума функции многих переменных). Пусть точка 
есть точку экстремума функции 
. Тогда частные производные этой функции по всем переменным в этой точке равны нулю. Иначе: в точке минимума или максимума функции многих переменных ее градиент равен нулю.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называются критическими или стационарными.
Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть 
- стационарная точка функции , в которой существуют ее непрерывные частные производные второго порядка. Обозначим 
, 
, 
, 
. Тогда:
а) если 
, то в точке 
имеет место экстремум, причем при 
минимум, а при 
максимум;
б) если 
, то в точке экстремума нет;
в) если 
, то случай сомнительный и требуется дополнительное исследование (по определению).
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
Предположим, что экстремум функции многих переменных ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторым ограничениям 
, которые называют условиями или уравнениями связи. В частности, для функции двух переменных уравнение связи 
.
|
|
|
Точка называется точкой условного максимума (минимума) функции при ограничении , если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек из этой окрестности, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство ( ).
Если уравнение связи удается разрешить относительно одной из переменных, т.е. представить его в виде 
или 
, то задача нахождения условного экстремума сводится к задаче нахождения экстремума функции одной переменной вида 
или 
.
Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа. Для его реализации составляется функция Лагранжа вида 
. Постоянная 
называется множителем Лагранжа.
Теорема. Если точка является точкой условного экстремума функции при ограничении ,то существует значение 
такое, что точка 
является точкой экстремума функции Лагранжа 
.
Тогда для нахождения условного экстремума функции при ограничении достаточно решить систему вида
.
Пример. Исследовать на условный экстремум функцию 
при ограничении 
.
1. Сведем задачу к исследованию на безусловный экстремум функции одной переменной.
Для этого выразим из ограничения y: 
и подставим в выражение для функции:
|
|
|
.
Необходимое условие экстремума функции одной переменной – равенство ее производной нулю. Тогда 
. Решая квадратное уравнение получим два корня 
и 
, т.е. две критические точки, в которых возможен экстремум.
Достаточное условие максимума предполагает, что знак первой производной функции меняет знак с “+” на “–“, а минимума – наоборот, с “–“ на “+“. Для рассматриваемой функции одной переменной можно предположить, что в точке имеет место локальный максимум, а в точке – локальный минимум. Из ограничения вычислим 
, 
и предположим, что в точке 
имеет место условный максимум функции при ограничении , а в точке 
- ее локальный минимум.
2. Выполним исследование функции на условный экстремум с помощью метода множителей Лагранжа. Для этого составим функцию Лагранжа 
. Необходимое условие экстремума функции трех переменных – равенство нулю ее частных производных по всем переменным, т.е.
Из первых двух уравнений 
и 
получаем 
, откуда 
или 
. Подстановка в первое и третье уравнения системы дает , 
, , 
. Как и в первом случае получаем пару точек 
, 
, являющихся критическими точками для функции Лагранжа.
Проверим выполнение достаточных условий экстремума функции Лагранжа. Для этого введем понятие матрицы вторых производных функции многих переменных – матрицы Гессе. Она имеет вид
|
|
|
.
Назовем 
, 
, …, 
угловыми минорами матрицы Гессе. Тогда достаточное условие экстремума функции многих переменных определяет
Теорема (критерий Сильвестра)
а) Для того чтобы стационарная точка 
являлась точкой локального минимума функции 
необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы Гессе, вычисленные в этой точке, были положительны, т.е. 
, 
, …, 
.
б) Для того чтобы стационарная точка являлась точкой локального максимума функции необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров ее матрицы Гессе, вычисленных в этой точке, чередовались, начиная с отрицательного, т.е. 
, 
, 
, …
Применим критерий Сильвестра для выяснения наличия и характера экстремума функции Лагранжа в рассматриваемой задаче. Для этого вычислим вторые производные функции Лагранжа по всем переменным: 
; 
; 
; 
; 
; 
. Тогда матрица Гессе имеет вид
. Поскольку в нашем случае для обеих стационарных точек 
, то имеем сомнительный случай, требующий дополнительного исследования.
а) Точка
| x | y | z | ||
| 1,333133333 | 1,333433333 | 2,37037033 | ||
| 1,333233333
| 1,333383333 | 2,37037036 | ||
| 1,333333333 | 1,333333333 | 2,37037037 | ||
| 1,333433333 | 1,333283333 | 2,37037036 | ||
| 1,333533333 | 1,333233333 | 2,37037033 |
Расчеты, проведенные в окрестностях точки 
показали, что функция при ограничении 
принимает значения, меньшие, чем значение функции в критической точке. Это позволяет утверджать, что в рассматриваемой точке имеет место локальный условный максимум функции при ограничении .
б) Точка 
| x | y | z |
| 3,99980000 | 0,00010000 | 0,00000004 |
| 3,99990000 | 0,00005000 | 0,00000001 |
| 4,00000000 | 0,00000000 | 0,00000000 |
| 4,00010000 | -0,00005000 | 0,00000001 |
| 4,00020000 | -0,00010000 | 0,00000004 |
Расчеты, проведенные в окрестностях точки 
показали, что функция при ограничении принимает значения, большие, чем значение функции в критической точке. Это позволяет утверджать, что в рассматриваемой точке имеет место локальный условный минимум функции при ограничении .
Ответ. функция при ограничении достигает локального условного максимума в точке и локального условного минимума в точке .
Двойные интегралы
В отличие от случая функции одной переменной, в случае двух и более переменных понятие первообразной и неопределенного интеграла ввести не удается.
Понятие определенного интеграла вводится на основании двумерного аналога интегральной суммы. Рассмотрим множество D на плоскости Oxy (рисунок 2) и построим покрывающее это множество решетку. Занумеруем клетки решетки двойными индексами 
по горизонтали слева направо, 
по вертикали снизу вверх. Обозначим 
и 
размеры клетки 
.
 
| По мере уменьшения |
| Рисунок 2. Область интегрирования D |
и 
S(D), где S(Dклет) – площадь подмножества множества D, покрытого целыми клетками 
, S(D) – площадь множества D. В каждой клетке
. Функция 
называется интегрируемой на множестве D, если существует конечный предел ее интегральной суммы на этом множестве при стремлении 
к нулю. Такой предел называют двойным интегралом функции на множестве D. Таким образом,
.
Величина I не должна зависеть ни от способа разбиения D на ячейки, ни от выбора в каждой из них точки 
. С геометрической точки зрения 
равен объему прямого цилиндрического тела с основанием D и ограниченного сверху поверхностью .
Множество D плоскости Oxy называют элементарным относительно оси Ox, если его граница может быть представлена в виде графиков двух непрерывных на отрезке [a;b] функций 
и отрезков прямых 
и 
. Тогда двойной интеграл от функции на множестве D может быть представлен в виде повторного интеграла как
.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 365; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!