Производная по направлению. Градиент

Функции многих переменных

Пусть имеется n переменных величин , i=1,2, …, n, и каждому набору их значений из некоторого множества X соответствует одно конкретное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция n переменных . Переменные называют независимыми переменными или аргументами, z – зависимой переменной или функцией, а f определяет закон соответствия. Множество X называется областью определения функции и является подмножеством n-мерного пространства.

Замечание. Всякая функция многих переменных становится функцией меньшего числа переменных, если часть переменных зафиксировать.

Наиболее распространенным является задание функции многих переменных аналитически, т.е. явным уравнением или неявным уравнением .

Частным случаем функции многих переменных является функция двух переменных, заданная явно в виде или неявно – . Альтернативная форма задания – графически.

Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства , обращающих уравнение в верное равенство. Он представляет собой поверхность в пространстве .

Замечание. Формально график можно задать и для функции n переменных . В этом случае он называется гиперповерхностью в (n+1)-мерном пространстве.

Линией уровня (изокривой) функции называется множество точек плоскости , для которых данная функция имеет одно и то же значение, т.е. .

Окрестностью точки на плоскости называется круг, содержащий эту точку.

Число A называют пределом функции в точке (или при и ), если для любого сколь угодно малого числа найдется положительное число такое, что для всех точек , отстоящих от на расстояние , выполняется неравенство .

Предел обозначают как .

На плоскости существует бесконечно много направлений, по которым точка может стремиться к . Если зафиксировать одну из переменных и совершить предельный переход по второй, то получится два предела вида и . Совершая предельный переход по второй переменной получим и , которые называют повторными пределами функции двух переменных. В общем случае они могут не совпадать друг с другом или с пределом функции в точке . Их равенство определяется теоремой.

Теорема. Если существуют , для всех y из некоторой окрестности y₀ и для всех x из некоторой окрестности x₀, то существуют оба повторных предела функции в точке , которые совпадают с A.

В общем случае пределы функции многих переменных по разным направлениям могут быть различными.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке .имеет в ней конечный предел, и значение предела совпадает со значением функции в точке .т.е. . С геометрической точки зрения это означает, что график данной функции в данной точке представляет собой сплошную нерасслаивающуюся поверхность.

Функция называется непрерывной на множестве M, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Полным приращением функции в точке называют величину . Частными приращениями по соответствующим переменным будут и . При этом полное приращение не равно сумме частных, т.е. .

Частной производной функции многих переменных по одной из этих переменных называют предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю, если этот предел существует.

В случае функции двух переменных и . Каждая из частных производных функции двух переменных сама является функцией двух переменных.

Частные производные старших порядков определяются последовательно через производные меньших порядков. Так, производные второго порядка функции определяются следующим образом: и - частные производные второго порядка по x и y соответственно. Помимо частных производных второго порядка существуют смешанные производные второго порядка и . Смешанные производные второго порядка не всегда совпадают.

Теорема (достаточное условие равенства смешанных производных второго порядка функции двух переменных). Пусть в некоторой окрестности точки существуют частные производные функции , , и , причем и непрерывны в точке . Тогда .

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке допускает представление в виде , где и - бесконечно малые величины при .

Дифференциалом функции двух переменных называют линейную относительно и часть ее полного приращения, т.е. .

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных). Если в некоторой окрестности точки существуют частные производные первого порядка функции по всем переменным, которые являются непрерывными в точке M, то функция z дифференцируема в этой точке.

Производная по направлению. Градиент

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , l – некоторое направление, заданное единичным вектором , где и – направляющие косинусы, т.е. косинусы углов, образованных вектором с осями координат.

При перемещении в направлении l из точки в точку функция получает приращение , называемое приращением функции z в данном направлении l.

Производной по направлению l функции называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при стремлении последнего к нулю, т.е. . Она характеризует скорость изменения функции в направлении l.

Для вычисления производной по направлению используется формула

Градиентом функции называется вектор, координатами которого являются частные производные функции, т.е. .

Градиент функции z в точке M₀ показывает направление максимальной скорости изменения этой функции в этой точке. Кроме того, вектор градиента в точке (если он отличен от нулевого вектора) перпендикулярен линии уровня функции z, проходящей через эту точку.

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 97; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!