Раздел IV . Математическое программирование

Номер раздела, темы, занятия

Название раздела, темы, занятия; перечень изучаемых вопросов

Количество

 аудиторных часов

Методические пособия, средства обучения (оборудования, учебно-наглядные пособия и др.)

Литература

Формы контроля знаний

Лекции

Лабораторные занятия

Самостоятельная работа студента

I семестр

                                                                Раздел I . Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра

1.Определение вектора. Экономический смысл вектора. Алгебраические операции над векторами и их свойства.

2. Линейно независимые и линейно зависимые векторы и их свойства.

3. Базис системы векторов. Разложение вектора по базису.

4. Скалярное произведение векторов и его свойства. Ортогональные векторы. Ортонормированная система векторов.

5. Размерность и базис пространства. Понятие о векторных пространствах. Евклидово пространство

1

[1-7]

Текущий опрос

Аналитическая геометрия на плоскости

1. Предмет аналитической геометрии. Метод координат.

2. Декартова и полярная система координат.

3. Уравнение прямой в векторной форме и вывод из него различных уравнений прямой.

4. Взаимное расположение прямых. Расстояние от точки до прямой.

5. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

1

[1-7]

Текущий опрос

Выдача задания расчётно-графической работы №1

Элементы аналитической геометрии в пространстве

1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве.

2. Основные виды уравнений плоскости и прямой в пространстве.

3. Угол между плоскостями, между прямыми, между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости.

4. Понятие о поверхностях второго порядка и их классификации.

1

[1-7]

Текущий опрос

Матрицы

1. Определение матрицы. Виды матриц. Экономический смысл матриц.

2. Основные арифметические операции над матрицами и их свойства.

3. Матричный метод и его применение в экономических исследованиях: «Построение матрицы совокупных издержек, объединяющих затраты на производство и транспортировку товаров», «Матрица коэффициентов прямых материальных затрат» и др.

 4. Определение определителей 2-го, 3-го и n-го порядков.

5. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения определителей. Теорема разложения. Вычисление определителей.

6. Определение обратной матрицы. Теорема существования и единственности обратной матрицы.

7. Независимые строки и столбцы матрицы. Определение ранга матрицы. Элементарные преобразования матриц. Теорема о ранге матрицы.

8. Собственные числа и собственные векторы матрицы.

9. Понятие о квадратичных формах и их преобразовании к каноническому виду

1

[1-7]

Текущий опрос

Системы линейных уравнений и неравенств

1. Определение системы т линейных уравненийс п неизвестными. Различные виды задания. Определение решения системы. Совместность и определенность системы.

2. Элементарные преобразования системы. Метод Гаусса. Базисные и свободные неизвестные. Правило Крамера.

3. Межотраслевой баланс производства и выпус

ка продукции.

4. Однородные системы линейных уравнений.

5. Системы m линейных неравенств с n неизвестными. Графический метод решения системы линейных неравенств с двумя переменными.

6. Смешанные системы линейных уравнений и неравенств.

1

[1-7]

Контрольная работа №1

Комплексные числа

1. Комплексная плоскость.

2. Формы представления комплексных чисел.

3. Действия над комплексными числами.

4. Формулы Эйлера.

1

[1-7]

Тест

№1

По темам

1.1-1.5

                                  Раздел II . Математический анализ и дифференциальные уравнения

Числовая последовательность и ее предел

1. Действительные числа. Числовые множества. Числовые последовательности.

2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

3. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

4. Монотонные последовательности. Экономическая интерпретация числа .

1

[1-7]

Текущий опрос

Предел функции одной переменной

1. Определение и способы задания функции. График функции. Основные элементарные функции. Сложная функция.

2. Определение предела функции в точке. Односторонние пределы.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Их свойства. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.

4. Раскрытие неопределенностей  

 Пределы .

1

[1-7]

Текущий опрос

Непрерывность функции одной переменной

1. Непрерывность функции в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями.

2. Точки разрыва и их классификация.

3. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций.

4. Непрерывность функций на множестве. Функции, непрерывные на множестве, и их свойства.

1

[1-7]

Текущий опрос

Производная и дифференциал функции одной переменной.

1. Определение производной функции в точке. Односторонние производные. Геометрический, механический и экономический смысл производной.

2. Непрерывность функции, имеющей производную.

3. Правила дифференцирования.

4. Производная сложной и обратной функций.

5. Производные основных элементарных функций. Логарифмическая производная.

1

[1-7]

Текущий опрос

6. Определение дифференцируемости и дифференциала функции одной переменной. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Его геометрический и экономический смысл.

7.Связь дифференцируемости функции с существованием производной функции в точке.

8.Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

 9. Производные высших порядков. Неявные функции.

10. Дифференциалы высших порядков.

1

[1-7]

Контрольная работа

№ 2

Основные теоремы о дифференцируемых функциях

1. Стационарные точки. Теорема Ферма.

2. Теорема Роля.

3. Теорема Лагранжа и формула конечных приращений.

4. Терема Коши. Правило Лопиталя.

1

[1-7]

Текущий

опрос

2.6

Приложения дифференциального исчисления

1. Условия постоянства функции. Критерий монотонности.

2. Экстремум функции. Необходимое и достаточные условия экстремума.

3. Выпуклость вверх и вниз. Точки перегиба.

4. Асимптоты графика функции.

5. Общая схема исследования функций и построение графиков.

6. Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке. Решение задач с экономическим содержанием.

1

0,5

[1-7]

Текущий опрос

Тест № 2

По темам

2.1-2.6

Функции нескольких переменных.

1. Определение функции двух и нескольких переменных. Множество уровней. Однородные функции. Выпуклые и вогнутые функции. Производственные функции. Линии изоквант и изокост.

2. Предел функции двух переменных.

3. Непрерывность функции двух переменных в точке и в области. Свойства непрерывных функций..

4. Частные производные первого и высшего порядков.

5. Производная по направлению. Градиент функции и его свойства.

6. Дифференцируемость функции двух переменных. Полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков.

7. Производственные функции и функции производственных затрат. Коэффициенты эластичности функций производственных затрат и их экономический смысл.

8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.

9. Определение экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных. Условный экстремум.

10. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

11. Понятие об эмпирических формулах.

12. Сущность метода наименьших квадратов.

13. Оценка параметров функций, используемых в экономических исследованиях, при помощи метода наименьших квадратов.

1

[1-7]

Текущий опрос

Тест

№ 3

По теме

2.7

Итого за первый семестр

14

II семестр

 Первообразная и неопределенный интеграл

1. Первообразная и неопределенный интеграл.

2. Свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица основных интегралов.

4. Неопределённый интеграл с логарифмической производной.

5. Интегрирование при помощи подстановки.

6. Интегрирование по частям.

7. Интегрирование простейших рациональных дробей; рациональных функций; иррациональных функций; выражений, содержащих тригонометрические функции.

1

1

[1-7]

Текущий опрос

Определенный интеграл.

2.9.1.  Определение определенного интеграла.

2.9.2. Основные свойства определенного интеграла.

2.9.3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Непрерывность, дифференцируемость по верхнему пределу.

2.9.4. Формула Ньютона-Лейбница.

2.9.5. Вычисление определенного интеграла заменой переменной.

2.9.6. Вычисление определенного интеграла по частям.

2.9.7. Приближенное вычисление определенных интегралов: формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

2.9.10. Геометрические приложения определенных интегралов: вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения.

2.9.11. Применение определенного интеграла в экономических исследованиях: «Определение объема продукции и издержек производства за фиксированные промежутки времени», Потеря благосостояния общества при движении к идеальному состоянию», «Скорость оттока рабочей силы», Дисконтирование дохода», и др. задачи экономического характера.

2.9.12. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку. Их сходимость.Несобственные интегралы от неограниченных функций. Их сходимость

1

[1-7]

Текущий опрос

Кратные интегралы

1. Определение двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному.

2. Тройной интеграл.

3. Приложения кратных интегралов

1

[1-7]

Тест № 3

По темам 2.8-2.9

2.11

Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Экономические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Определение дифференциального уравнения и его решения. Общее и частное решение дифференциального уравнения первого порядка. Геометрический смысл решения. Задача Коши.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и их применение в экономических исследованиях: «Простейшая модель обновления национального дохода», «Определение спроса из эластичности спроса относительно цены» и другие модели.

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и их применение в экономических исследованиях. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и их применение в экономических исследованиях.

1

[1-7]

Текущий опрос

4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура их общего решения.

5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура их общего решения.

7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной.

8. Системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

[1-7]

Текущий опрос

Тест № 4

По теме 2.11

2.12

Ряды.

1. Определение числового ряда и его сходимости. Примеры сходящихся и расходящихся рядов.

2. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости.

1

[1-7]

Текущий опрос

3. Достаточные признаки сходимости числовых знакоположительных рядов: признаки сравнения; признаки Даламбери и Коши; интегральный признак.

4. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов.

5. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

6. Определение функционального, степенного рядов. Область сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. Радиус, интервал сходимости степенных рядов.

7. Свойства суммы степенного ряда.

8. Построение рядов Тейлора и Маклорена.

9. Условия разложимости функции в ряд Тейлора, Маклорена.

10. Разложение основных элементарных функций е^х , cos x, sin x, (1+x)^m , ln (1+x) в ряд Маклорена.

11. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

12. Ряды Фурье. Разложение функций в ряды Фурье.

[1-7]

Текущий опрос

Тест № 5

По теме

2.12

                                Раздел III . Теория вероятностей и математическая статистика

Основные понятия и теоремы теории вероятностей

1. Пространство элементарных событий.

2. Соотношения между событиями.

3. Вероятность. Методы вычисления вероятностей. Аксиоматическое определение вероятностей. Классический метод задания вероятности. Элементы комбинаторики. Вычисление вероятностей в случае дискретного пространства элементарных событий. Геометрический метод вычисления вероятностей. Статистический метод задания вероятностей.

4. Свойства вероятностей. Теорема сложения.

5. Условная вероятность и ее свойства. Независимость событий. Теорема умножения.

6. Формула полной вероятности и формулы Байеса. Байесовский анализ возможных решений в экономике.

1

1

[6-15]

Текущий опрос

Повторные независимые испытания

1. Последовательность независимых повторных испытаний. Формула Бернулли.

2. Наивероятнейшее число успехов в формуле Бернулли.

3. Теорема Пуассона.

4. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.

[6-15]

Тест № 6

По темам

3.1-3.2

Итого за второй семестр

6

6

III семестр

Случайные величины. Основные законы распределения случайных величин

1. Определение случайной величины. Вероятностное пространство, образованное случайной величиной.

2. Функция распределения и ее свойства.

3. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.

4. Непрерывные случайные величины. Плот

ность распределения вероятностей случайной величины. Ее свойства.

5. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства. Мода и медиана. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. Моменты распределения случайных величин. Асимметрия и эксцесс.

1

0,5

[6-15]

Текущий опрос

3.3

6. Важнейшие распределения дискретных случайных величин. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое и гипергеометрическое распределения.

7. Важнейшие распределения непрерывных случайных величин. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный интервал. Показательное распределение.

8. Распределения «хи-квадрат», Стьюдента,

 Фишера-Снедокора.

9. Определение многомерных, двумерных случайных величин. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства.

10. Зависимые и независимые случайные величины. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Контрольная работа

Закон больших чисел

1. Неравенства Маркова, Чебышева, Колмогорова.

2. Теоремы Чебышева, Хинчина, Маркова и Бернулли.

3. Центральная предельная теорема в формулировке Линдеберга-Леви, Ляпунова. Нормальное распределение как предельное для биномиального и пуассоновского распределения.

1

[6-15]

Тест № 7

По темам

3.3-3.4

Основы математической статистики

1. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность. Выборка.

2. Распределение выборки. Графическое представление распределений. Эмпирическая функция распределения.

3. Основные числовые характеристики выборки: среднее арифметическое, мода, медиана, стандартная ошибка, вариационный размах, среднее линейное отклонение, коэффициенты вариации, начальные и центральные моменты, асимметрия, эксцесс.

4.Точечное оценивание. Свойства точечных оценок. Оценки математического ожидания, дисперсии.

5. Интервальное оценивание. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Методы построения доверительных интервалов.

6. Определение статистической гипотезы, критерия, ошибок первого и второго рода; определение критической области, мощности критерия; схема проверки статистической гипотезы.

7. Проверка гипотез о математическом ожидании и дисперсии случайной величины, распределенной по нормальному закону. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий и дисперсий.

8. Критерии согласия Пирсона, Романовского, Колмогорова.

9. Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ.

10. Основные понятия корреляционного и регрессионного анализа. Линейная корреляционная зависимость и линии регрессии.

11. Проверка значимости уравнения и коэффициентов уравнения регрессии.

12. Ранговая корреляция.

1

[6-15]

Текущий опрос

Контрольная работа

Раздел IV . Математическое программирование

1

0,5

[16-18]

Текущий опрос

Контрольная работа

1

0,5

[16-18]

Текущий опрос

1

0,5

[16-18]

Текущий опрос

1

0,5

[16-18]

Текущий опрос

8

4

28

16