Математическая модель электрогидроусилителя

С механической обратной связью

Построение математической модели рассмотрим на примере электрогидравлического усилителя, схема которого приведена на рис. 5.1. Электрогидравлический усилитель (ЭГУ) состоит из электромеханического преобразователя (ЭМП) и гидравлического усилителя (ГУ) и распределителя (Р) рабочей жидкости.

ЭГУ снабжен обратной связью от золотника 1 к заслонке 3, расположенной между соплами 4. Обратная связь выполнена в виде тонкого упругого стержня 2 (рис. 5.1). Заслонка запрессована в гибкую упругую трубку 5 и ее верхний конец жестко соединен с якорем ЭМП 6, который размещен между полюсами постоянных магнитов 7. При подаче электрического тока в обмотки 8 управления к якорю будет приложен момент электромагнитных сил, возникающих вследствие взаимодействия электромагнитного поля с полем, созданным постоянными магнитами. Этот момент поворачивает якорь вместе с заслонкой относительно точки, находящейся приблизительно посередине упругой трубки.

Рис. .1. Схема ЭГУ с механической обратной связью

При отклонении заслонки от среднего положения зазор между одним соплом и заслонкой уменьшается, а между другим соплом и заслонкой увеличивается. Уменьшение зазора между одним соплом и заслонкой ведет к увеличению сопротивления кольцевой щели (между соплом и заслонкой), что в свою очередь приводит к уменьшению расхода через это сопло и увеличению давлению перед ним и в камере А. Увеличение зазора между другим соплом и заслонкой ведет к уменьшению сопротивления кольцевой щели (между соплом и заслонкой), что в свою очередь приводит к увеличению расхода через это сопло и уменьшению давлению перед ним и в камере B. Разность давлений в камерах А и B, создает силу, перемещающую золотник в направлении его оси. Вместе с золотником перемещается нижний конец упругого стержня, при изгибе которого к заслонке прикладывается момент, уравновешивающий после определенного смещения золотника электромагнитный момент, приложенный к верхнему концу заслонки. В результате наступает равновесие элементов ЭГУ, при котором проходящему через обмотки управления электрическому току соответствует требуемое смещение золотника от среднего положения.

Описание динамики электрогидравлического усилителя, выполним с учетом массы золотника, сжимаемости жидкости, но пренебрегая сопротивлением гидролиний.

Математическое описание начнём с процессов, происходящих в электромеханическом преобразователе. Уравнение вращения якоря вместе с заслонкой запишем в виде

, (5.1)

где М_я – момент электромагнитных сил, поворачивающих якорь; М_с – момент сопротивления, обусловленный силами трения и электромагнитными силами сопротивления, вызванными встречной ЭДС в обмотке управления электромеханического преобразователя (ЭМП); М_н – момент сил, действующих на заслонку и упругий стержень, и создающих нагрузку на якорь, эти силы возникают вследствие изгиба упругого стержня механической обратной связи при смещении золотника и отклонении заслонки от среднего положения, и вследствие гидродинамического воздействия на заслонку жидкости, вытекающей через сопла; J_я – момент инерции якоря вместе с заслонкой; φ_я – угол отклонения якоря от среднего положения.

Внешнюю моментную характеристику электромеханического преобразователя будем использовать в виде линейной зависимости момента М_я, развиваемого якорем от тока управления i_У и угла φ_я поворота якоря:

, (5.2)

где и – коэффициенты внешней моментной характеристики ЭМП.

Момент сопротивления М_с, возникающий при вращении якоря, будем определять по формуле

, (5.3)

где К_с – коэффициент сопротивления, обычно определяется экспериментально.

Так как заслонка жестко связана с якорем и имеет возможность поворачиваться вокруг оси совместно с ним, то гидродинамическую силу, приложенную к заслонке, нужно учесть при составлении уравнения вращения якоря.

Момент М_н сил, создающих нагрузку на якорьопределяется соотношением

, (5.4)

где – гидродинамическая сила, действующую на заслонку со стороны струй жидкости истекающих из сопел; l – расстояние от центра вращения якоря вместе с заслонкой до оси сопел; – сила, действующая на золотник, и возникающая вследствие изгиба упругого стержня механической обратной связи при смещении золотника и отклонении заслонки от среднего положения, с такой же по величине силой, но в противоположном направлении, действует золотник на упругий стержень, поэтому в формуле используется знак минус; – расстояние от центра вращения якоря вместе с заслонкой до оси золотника.

Гидродинамическую силу, действующую на заслонку со стороны струй рабочей жидкости истекающих из сопел, можно определить по формуле

, (5.5)

где χ_с – коэффициент, равный 1,03–1,06 для сопел с острыми кромками; – площадь проходного сечения сопла (здесь d_с – диаметр сопла); – давление на входе в левое сопло (одинаково с давлением в полости А); – давление на входе в правое сопло (одинаково с давлением в полости Б).

Силу , действующую на золотник можно определить по формуле

, (5.6)

где – модуль упругости материала, которого изготовлен стержень; – момент инерции сечения стержня; – длина стержня; – давление на входе в правое сопло (одинаково с давлением в полости Б).

После подстановки моментов из формул (5.2)–(5.4) в уравнение (5.2) с учетом соотношения (5.5) получим

. (5.7)

Уравнение (5.7) описывает процессы, происходящие в ЭМП.

Теперь составим математическое описание гидроусилителя. При отклонении заслонки влево уравнения баланса расходов для левой и правой половы гидроусилителя можно записать в виде

, (5.8)

. (5.9)

где – расход жидкости, поступающий в полость А гидроусилителя; – расход жидкости, протекающий через левый дроссель; – расход жидкости, вытекающей из левого сопла; – расход жидкости, поступающий в полость Б гидроусилителя; – расход жидкости, вытекающей из правого сопла; – расход жидкости, протекающий через правый дроссель.

Расходы и жидкости определяются зависимостями

, (5.10)

, (5.11)

где – коэффициент расход канала дросселя; – площадь поперечного сечения канала дросселя; – давление питания гидравлического усилителя; – давление управления в полость А гидроусилителя; – давление управления в полость Б гидроусилителя; ρ – плотность жидкости.

Расходы и жидкости определяются зависимостями

, (5.12)

, (5.13)

где – коэффициент расхода сопла-заслонки; – площадь кольцевой щели между торцом левого сопла и заслонкой; – площадь кольцевой щели между торцом правого сопла и заслонкой; – давление в полости слива, в которую вытекает жидкость из сопла.

Площади и определяются соотношениями

, (5.14)

. (5.15)

где – диаметр проходного сечения сопла; – зазор между торцом левого сопла и заслонкой; – зазор между торцом правого сопла и заслонкой.

Зазоры и между заслонкой и соплами определяются зависимостями

, (5.16)

, (5.17)

где – зазор между торцом сопла (левого и правого) и заслонкой в нейтральном положении; – отклонение заслонки от нейтрального положения.

Отклонение заслонки h_у от нейтрального положения связано с углом φ_я поворота якоря соотношением

. (5.18)

После подстановки площадей и из формул (5.14) и (5.15) в уравнения (5.12) и (5.13) с учетом соотношений (5.16), (5.17) и (5.18) получим

, (5.19)

, (5.20)

Расходы и связаны с перемещением золотника:

, (5.21)

, (5.22)

где – площадь торца золотника; d_з – диаметр золотника; x_з – перемещение золотника; V_у0 – объем каждой из полостей А и Б при положении заслонки в нейтральном положении; B_ж – модуль объемной упругости жидкости. Второе слагаемое в правой части уравнений (5.21) и (5.22) учитывает изменение объема жидкости, обусловленное её сжимаемостью.

Уравнение движения золотника под действием разности давлений в полостях А и Б можно записать в виде

, (5.23)

где F_гд2 – гидродинамическая сила, действующая на золотник со стороны жидкости, протекающей через распределитель; F_тр – сила трения; F_пр – сила, действующая на золотника со стороны упругого стержня механической обратной связи; m_з – масса золотника.

Зависимость гидродинамической силы F_гд2 от перемещения золотника будем считать линейной, и определять по формуле

, (5.24)

где – коэффициент жесткости гидродинамической пружины (гидродинамическая сила имеет линейную зависимость аналогично силе пружины отсюда и название коэффициента).

Силу трения будем считать вызванной жидкостным трением, и определять по формуле

, (5.25)

где k_тр – коэффициент трения.

После подстановки сил из формул (5.24)-(5.25) в уравнение (5.23) получим:

, (5.26)

Система уравнений (5.7)-(5.11), (5.19)-(5.22) и (5.26) с учетом соотношений (5.12)-(5.18) описывает процессы, протекающие в электрогидравлическом усилителе.

При исследовании процессов, протекающих в системах, с помощью ЭВМ и пакетов прикладных программ, основанные на численных методах математическое описание удобнее выполнять в переменных состояния и системы уравнений приводить к дифференциальным уравнениям первого порядка, записанным в форме Коши.

В качестве переменных состояния будем использовать искомые функции: угол j_я(t) поворота якоря, угловая скорость ω_я(t) вращения якоря, давления p_у1(t) и p_у2(t) управления соответственно в полости А и Б, перемещение x_з(t) и скорость υ_з(t) золотника; а закон изменения тока i_у(t) управления известен.

Дифференциальное уравнение (5.7) второго порядка заменим системой двух уравнений первого порядка

, (5.27)

. (5.28)

где ω_я – угловая скорость вращения якоря.

Для исключения расходов и подставим выражение расхода из уравнения (5.8) в уравнение (5.21), а выражение расхода из уравнения (5.9) в уравнение (5.22) в результате получим

, (5.29)

. (5.30)

где – скорость перемещения золотника.

Дифференциальное уравнение (5.26) второго порядка также заменим системой двух уравнений первого порядка

, (5.31)

, (5.32)

Полученную систему уравнение (5.27)- (5.32) приведем к форме Коши:

. (5.33)

где функции , , , определяются формулами (5.10), (5.11), (5.19), (5.20).

Для решения системы уравнений (5.33) необходимо знать закон изменения тока управления , задать значение коэффициентов: , , , , , ; параметров: , , , , , , , , , , ; начальные условия (значения искомых функций в начальный момент времени):