Математическая модель электрогидроусилителя

С золотником нагруженным пружинами

Построение математической модели рассмотрим на примере электрогидравлического усилителя, схема которого приведена на рис. 4.1. Электрогидравлический усилитель с золотником, нагруженным пружинами, состоит из электромеханического преобразователя (ЭМП) и гидроусилителя (ГУ), имеющего усилительную ступень в виде сопла-заслонки и управляющую ступень в виде золотникового распределителя. Гидроусилитель состоит из золотника 1, пружин, нерегулируемых дросселей 3, заслонки 4 и сопел.

x_З

p_П

p_СЛ

p₁

p₂

Рис. 4.1. ЭГУ с золотником нагруженным пружинами

Электрогидравлический усилитель работает следующим образом. При подаче напряжения на ЭМП в обмотке управления возникает ток, и якорь ЭМП вместе с заслонкой 4 отклоняется от нейтрального положения. Отклонение заслонки 4 от нейтрального положения вызывает изменение расходов через сопла и перепад давлений в полостях А и Б, необходимый для управления золотником 1.

Для обеспечения пропорциональной зависимости перемещений золотника от перемещений заслонки применены пружины 2. Усилие этих пружин при смещении золотника от нейтрального положения уравновешивают силы давлений, приложенные к нему со стороны жидкости в полостях А и Б.

Описание динамики электрогидроусилителя с нагруженным пружинами золотником, выполним с учетом массы золотника, сжимаемости жидкости, но пренебрегая сопротивлением гидролиний.

Математическое описание начнём с процессов, происходящих в электромеханическом преобразователе. Уравнение вращения якоря вместе с заслонкой запишем в виде

, (4.1)

где М_я – момент электромагнитных сил, поворачивающих якорь; М_с – момент сопротивления, обусловленный силами трения и электромагнитными силами сопротивления, вызванными встречной ЭДС в обмотке управления электромеханического преобразователя (ЭМП); М_н – момент сил, действующих на заслонку и представляющих нагрузку на якорь; J_я – момент инерции якоря вместе с заслонкой; φ_я – угол отклонения якоря от среднего положения.

Внешнюю моментную характеристику электромеханического преобразователя будем использовать в виде линейной зависимости момента М_я, развиваемого якорем от тока управления i_У и угла φ_я поворота якоря:

, (4.2)

где и – коэффициенты внешней моментной характеристики ЭМП.

Момент сопротивления М_с, возникающий при вращении якоря, будем определять по формуле

, (4.3)

где К_с – коэффициент сопротивления, обычно определяется экспериментально.

Так как заслонка жестко связана с якорем и имеет возможность поворачиваться вокруг оси совместно с ним, то гидродинамическую силу, приложенную к заслонке, нужно учесть при составлении уравнения вращения якоря.

Момент нагрузки М_н определяется гидродинамической силой F_гд1, обусловленной воздействием на заслонку струй жидкости, истекающих из сопел:

, (4.4)

где l – расстояние от центра вращения якоря вместе с заслонкой до оси сопел.

Гидродинамическую силу, действующую на заслонку со стороны струй рабочей жидкости истекающих из сопел, можно определить по формуле

, (4.5)

где χ_с – коэффициент, равный 1,03–1,06 для сопел с острыми кромками; – площадь проходного сечения сопла (здесь d_с – диаметр сопла); – давление на входе в левое сопло (одинаково с давлением в полости А); – давление на входе в правое сопло (одинаково с давлением в полости Б).

После подстановки моментов из формул (4.2)–(4.4) в уравнение (4.2) с учетом соотношения (4.5) получим

. (4.6)

Уравнение (4.6) описывает процессы, происходящие в ЭМП.

Теперь составим математическое описание гидроусилителя. При отклонении заслонки влево уравнения баланса расходов для левой и правой половы гидроусилителя можно записать в виде

, (4.7)

. (4.8)

где – расход жидкости, поступающий в полость А гидроусилителя; – расход жидкости, протекающий через левый дроссель; – расход жидкости, вытекающей из левого сопла; – расход жидкости, поступающий в полость Б гидроусилителя; – расход жидкости, вытекающей из правого сопла; – расход жидкости, протекающий через правый дроссель.

Расходы и жидкости определяются зависимостями

, (4.9)

, (4.10)

где – коэффициент расход канала дросселя; – площадь поперечного сечения канала дросселя; – давление питания гидравлического усилителя; – давление управления в полость А гидроусилителя; – давление управления в полость Б гидроусилителя; ρ – плотность жидкости.

Расходы и жидкости определяются зависимостями

, (4.11)

, (4.12)

где – коэффициент расхода сопла-заслонки; – площадь кольцевой щели между торцом левого сопла и заслонкой; – площадь кольцевой щели между торцом правого сопла и заслонкой; – диаметр проходного сечения сопла; – давление в полости слива, в которую вытекает жидкость из сопла.

Площади и определяются соотношениями

, (4.13)

. (4.14)

где – зазор между торцом левого сопла и заслонкой; – зазор между торцом правого сопла и заслонкой.

Зазоры и между заслонкой и соплами определяются зависимостями

, (4.15)

, (4.16)

где – зазор между торцом сопла (левого и правого) и заслонкой в нейтральном положении; – отклонение заслонки от нейтрального положения.

Отклонение заслонки h_у от нейтрального положения связано с углом φ_я поворота якоря соотношением

. (4.17)

После подстановки площадей и из формул (4.13) и (4.14) в уравнения (4.11) и (4.12) с учетом соотношений (4.15), (4.16) и (4.17) получим

, (4.18)

, (4.19)

Расходы и связаны с перемещением золотника:

, (4.20)

, (4.21)

где – площадь торца золотника; d_з – диаметр золотника; x_з – перемещение золотника; V_у0 – объем каждой из полостей А и Б при положении заслонки в нейтральном положении; B_ж – модуль объемной упругости жидкости. Второе слагаемое в правой части уравнений (4.20) и (4.21) учитывает изменение объема жидкости, обусловленное её сжимаемостью.

Уравнение движения золотника под действием разности давлений в полостях А и Б можно записать в виде

, (4.22)

где F_гд2 – гидродинамическая сила, действующая на золотник со стороны жидкости, протекающей через распределитель; F_тр – сила трения; F_пр – сила, действующая на торцы золотника со стороны пружин; m_з – масса золотника.

Зависимость гидродинамической силы F_гд2 от перемещения золотника будем считать линейной, и определять по формуле

, (4.23)

где – коэффициент жесткости гидродинамической пружины (гидродинамическая сила имеет линейную зависимость аналогично силе пружины отсюда и название коэффициента).

Силу трения будем считать вызванной жидкостным трением, и определять по формуле

, (4.24)

где k_тр – коэффициент трения.

Силу от действия пружин на торцы золотника будем определять по формуле

, (4.25)

где с_пр – жесткость каждой из пружин.

После подстановки сил из формул (4.23)-(4.25) в уравнение (4.22) получим:

, (4.26)

Система уравнений (4.6)-(4.10), (4.18)-(4.21) и (4.26) с учетом соотношений (4.13)-(4.17) описывает процессы, протекающие в электрогидравлическом усилителе.

При исследовании процессов, протекающих в системах, с помощью ЭВМ и пакетов прикладных программ, основанные на численных методах математическое описание удобнее выполнять в переменных состояния и системы уравнений приводить к дифференциальным уравнениям первого порядка, записанным в форме Коши.

В качестве переменных состояния будем использовать искомые функции: угол j_я(t) поворота якоря, угловая скорость ω_я(t) вращения якоря, давления p_у1(t) и p_у2(t) управления соответственно в полости А и Б, перемещение x_з(t) и скорость υ_з(t) золотника; а закон изменения тока i_у(t) управления известен.

Дифференциальное уравнение (4.6) второго порядка заменим системой двух уравнений первого порядка

, (4.27)

. (4.28)

где ω_я – угловая скорость вращения якоря.

Для исключения расходов и подставим в уравнение (4.17) выражение расхода из уравнения (4.7), а в уравнение (4.18) выражение расхода из уравнения (4.8) в результате получим

, (4.29)

. (4.30)

Дифференциальное уравнение (4.26) второго порядка также заменим системой двух уравнений первого порядка

, (4.31)

, (4.32)

где υ_з – скорость перемещения золотника.

Полученную систему уравнение (4.27)- (4.32) приведем к форме Коши:

. (4.33)

где функции , , , определяются формулами (4.9), (4.10), (4.18), (4.19).

Для решения системы уравнений (4.33) необходимо знать закон изменения тока управления , задать значение коэффициентов: , , , , , , ; параметров: , , , , , , ; начальные условия (значения искомых функций в начальный момент времени):