Теорема об интегрировании методом подстановки (доказать)

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 9Следующая ⇒

Пусть f(x) – непрерывная на [a,b], ф-ия x=φ(t) – непрерывно дифференцируема на [t₁,t₂], причем φ: [t₁,t₂] → [a,b] и φ(t₁)=a φ(t₂)=b тогда

Док-во: Пусть F(x) первообразная для f(x) на [a,b], тогда по формуле Ньютона-Лейбница

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры (вывод формулы в полярной системе), длины дуги (вывод формулы в ДСК), объема тела вращения относительно Ox (вывод формулы)

Площадь в полярной:

За базовую фигуру в полярной системе принимается криволинейный сектор, ограниченный ρ=ρ(φ), φ=α φ=β. Предполагаем, что ρ=ρ(φ) – непрерывна на [α,β]. Для вычисления площади примем алгоритм составления интегральной суммы к последующим предельным переходом к определенному интегралу.

1. Разобьем отрезок [α,β] на n элементарных отрезков α= φ₀< φ₁< φ₂<… < φ_n= β

Δ φ_k = φ_k_-1- φ_k

2. На каждом из отрезков [φ_k_-1- φ_k] k=1,n выбираем произвольную точку Θ_k и найдем ρ_k=ρ(Θ_k) k=1,n

Каждый криволинейный сектор заменим на круговой сектор с радиусом ρ_k

3. Площадь кругового сектора S_k= ρ²(Θ_k)Δ φ_k

S= = ρ²(Θ_k)Δ φ_k

4. За точное значение S_OAB примем интегральную сумму при λ=

Длина дуги в ДСК:

Пусть ф-ия y=f(x) определена и непрерывна на [a,b] и кривая L – график этой ф-ии. Требуется найти длину плоской кривой L, заключенной между вертикальными кривыми x = a, x = b

1. Рассмотрим произвольное разбиение [a,b] точками x₀=a, x₁, x₂,…, x_n=b на n частей. Через точку x_k, k=1,n проведем вертикальные линии параллельные O_y до пересечения с кривой L. Дуга AB разбивается на n частей. Соединим соседние точки отрезками и получим ломанную, вписанную в дугу AB.

2. l_n = l ≈ l_n - ломаная

3. M_k_-1M_k – длина стягивающей хорды. Т.к. M_k_-1(x_k_-1; f(x_k_-1)), Mk (x_k; f(x_k))

Δl = | M_k_-1+ M_k| = по теореме Лагранжа

ξ_k [x_k-1, x_k]

Вычисление объема тела вращения: Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции aABb ограниченной кривой y=f(x), осью O_x и x = a, y = b

1. Рассмотрим произвольное разбиение [a,b] x₀= a < x₁< x₂<… < x_n = b

обозначим Δx_k = x_k-x_k_-1

2. Пересекаем тело вращения плоскостями перпендикулярными Ox и получи круги, радиусы которых равны |yk|=|f(xk)| На каждом [x_k_-1- x_k] выберем произвольным образом ξ_k S(ξ_k)= πf²(ξ_k) (S=πR²)

3. Предположим на любом частном отрезке ф-ия S=S(x) совпадает с S(ξ_k). Тогда объем частичного цилиндра: ΔV_k = S(ξ_k)Δx_k = πf²(ξ_k)Δx_k

Понятие несобственного интеграла I рода.

Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (I рода) от непрерывной ф-ии y=f(x) на промежутке [a, ∞) называется предел интеграла.

I(b)= =

10. Признаки сходимости. Первый признак сравнения(теорему доказать). Второй (предельный) признак сравнения(без док.)

Признаки сходимости:

Если функция f(x)>=0 на [a, +∞),то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы , a<=η<+∞ было ограниченно т.о. существует A>0 | η [a, +∞) <=A

Первый признак сравнения:

Теорема1:

Путь заданы две функции f(x) и g(x), неотрицательные на [a,+∞) и 0<=f(x)<=g(x) x [a,+∞).

Тогда 1) если –сходится, то тоже сходится.

2)если - расходится, то - расходится.

Доказательство:

1) [a,+∞) т.к. 0<=f(x)<=g(x) имеем интеграл <= ,

Если - сходится, то по Лемме -ограничена. -ограниченные по Лемме.

- сходится

2) Если расходится, то по п.1) интеграл не может сходится - расходится.

Теорема2:Предельный признак сравнения.

Пусть f(x) и g(x) неотрицательная на [a,+ ), y(x) x [a,+ ) и пусть существует конечный предел отношения , в этом случае и сходятся и расходятся одновременно. Ряд g(x) называется функцией сравнения.

11. Понятие несобственного интеграла

Пусть f(x) определена на [a,b) и неограниченна в левосторонней окрестности точки (в точке разрыва 2 рода). Т.е. .

Будем считать, что f(x) интегрируема на [a,b- ], >0: I=I( )= зависщий от переменного верхнего предела.

Df: Несобственный интеграл от функции f(x), непрерывный на промежутке [a,b) и имеющий разрыв 2 рода в т или несобственный интеграл 2 рода называется предел интеграла I( ):

Аналогично звучит df если f(x) имеет ∞ в точке а.

12. Признаки сравнения (без док.)

Терема3:

Пусть в левой(правой) окрестности точки b (точки а) определены неотрицательные функции f(x) и g(x), причем 0<=f(x)<=g(x).

Тогда 1) из сходимости н.и. 2 рода - сходится

2)из расходимости н.и. расходится

Теорема4:(Предельный признак сравнения)

Пусть f(x) и g(x) неотрицательные, и g(x) 0 на промежутке [a,b), а в точке b функция терпит разрыв 2 рода, и если существует , то

1) если сходится, 0<=k<=+∞, то - сходится.

2) Если расходится, 0<=k<=+∞, то - расходится

13. Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла (доказать)

Теорема: Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и сходится.

Доказательство:

Пусть несобственный интеграл сходится.

Рассмотрим = {f(x), если f(x)>=0

{0, если f(x)<0

= {0, если f(x)>0

{f(x), если f(x)<=0

f(x)= =

14. Основные топологические понятия: замкнутая и открытая область, расстояние между точками, связная и несвязная область и т.д.(×)

Определение: Множество всех упорядоченных наборов (x₁,x₂,…,x_n) действительных чисел x₁,x₂,…,x_n – называется n-мерным арифметическим точечным пространством и обозначается R. А его элементы называются точками пространства R.

Числа x₁,x₂,…,x_n – называются координатами токи (x₁,x₂,…,x_n). Обозначают прописными буквами латинского алфавита M(x₁,x₂,…,x_n)

Расстоянием ρ(M’,M’’) между двумя точками M’(x₁,x₂,…,x_n) и M’’(x₁’,x₂’,…,x_n’) n- мерного пространства называется число:

Геометрическое место точек P, координаты которого удовлетворяют z=f(x,y) называется графиком функции 2-х переменных.

1) ε - окрестность т. называется множество точек, отстоящих от точки M₀на расстояние меньше чем ε

Проколотая окрестность. ε -окрестность т. M₀.

2) Точка называется внутренней точкой множества , если она принадлежит множеству D вместе с некоторой своей окрестностью.

3) Точка называется граничной точкой множества D, если в любой её окрестности найдутся точки принадлежащие D, и не принадлежащие D.

Совокупность всех граничных точек называется границей множества D.

4) Точка называется внешней точкой множества , если E существует окрестность т. M₀ в которой нет точек множества D.

5) Множество D точек пространства называется открытым, если все его точки – внутренние.

6) Точка называется предельной точкой множества D, если существует последовательность т. такая, что (M_n сходится к т. M₀)

7) Множество D называется замкнутым, если оно содержит все граничные точки.

8) Множество D называется связным, если любые две точки M и B можно соединить ломаной, целиком лежащей в этом множестве.

9) Открытое связное множество называется областью

10) Множество D – называется ограниченным, если все его точки содержатся в некотором n-мерном шаре, т. е.

15) Понятие функции нескольких переменных. Область определения, область значений, график, линии (поверхности) уровня.(×)

ФНП: Пусть множество (произвольное подмножество -мерного пространства). Если правило каждой точке ставит в соответствие некоторое определенное действительное число , то говорят, что на множестве задана числовая функция или отображение от переменных:

или ; где -область определения, -аргументы, независимые переменные, - множество значений.

График функции: Графиком функции нескольких переменных называется множество , где . Если , , то

Область определения, область значений: Если каждой паре (x,y) из множества D по некоторому закону поставлено в соответствие значение переменной z из множества E, то переменную z будем называть функцией двух переменных и обозначать: z=f(x,y). Множество D называется областью определения, а множество E – областью значений функции.

Область определения: Совокупность пар (x,y) значений x и y, при которых определяется функция z=f(x,y) называется областью определения этой функции.

Пусть z=f(x,y) , D(f)=G – область

P P(x,y,z)=P(x,y,f(x,y))

Поверхность (или линия) уровня: Поверхность (линия), в точках которой поле принимает постоянные значения, называется поверхностью (линией) уровня скалярного поля.

Семейство поверхностей (линий) уровня может быть задано уравнением U=C, C-const

Если , n=2 – линия уровня

n=3 – поверхность уровня

16. Понятие предела ФНП. Свойства пределов ФНП

Понятие предела функции нескольких переменных аналогично понятию пре дела функции одной переменной.

Определение по Коши: Число A называется пределом функции U = f ( M ) в т. M ₀ , если существует такое, что для точки M удовлетворяет условию:

выполняется неравенство

Обозначается:

Краткая символическая запись: Смысл данного определения состоит в том, что значение функции f ( x , y) как угодно мало отличается от A в точках достаточно малой окрестности точки M_{0 .}В частности, для функции двух переменных f ( x , y )

Свойства пределов ФНП

1) Если P₀(x₀,y₀) не является бесконечно "удаленной точкой, то U ( P 0, δ )

2) Если P₀(∞,∞ ) - бесконечно удаленная точка, то под окрестностью U ( P ₀ , δ)

понимается мн-во точек, удовлетворяющих неравенству > δ Описать самостоятельно окрестность U ( P₀,δ) точки P₀ (x₀,∞).

3) Предел функции нескольких переменных существует, если его значение не зависит от способа стремления точки P к точке P₀. Поэтому, если значение предела хотя бы при одном способе стремления P к P 0 отличается от других, предел не существует.

4) Как и для функции одной переменной, для функции нескольких переменных вводится понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин. Согласно определению, величина f ( P ) называется бесконечно малой (бесконечно большой) при стремлении P к P₀, если

В последнем случае неравенство (1) в определении предела заменяется |f(P)| > ε

Пусть заданы две функции и определены на и пусть и , тогда

3) , В≠0

17) Непрерывность ФНП

Пусть U=f(M) определена D и в предельной т. M₀

Функции U=f(M) называется непрерывной в точке Mo, если выполняются условия:

1) U=f(M) определена в т.M₀и некоторой ее окрестности

18) Свойства ФНП, непрерывной в точке (без док.) (×)

Функции нескольких переменных на замкнутых множествах обладают свойствами аналогичными свойствам функций одной переменной на отрезке.

Свойства непрерывных функций.

1. Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций является непрерывной функцией.

(сумма, разность, произведение непрерывных функций есть непрерывные функции)

2. , ,

-(частное непрерывная функция есть непрерывная фу-я если )

3. -непрерывная функция

4. Основные функции нескольких переменных являются непрерывными всюду на своей области определения.

5. Все функции нескольких переменных являются непрерывными в своей области определения.

19. Теорема о непрерывности элементарных ФНП в области определения (без доказательства). Свойства ФНП, непрерывной на множестве (без док.) (×)

Теорема.

Если f(x₁, x₂, x₃…) непрерывна в ограниченной замкнутой области G, то она в этой области:

1. Ограничена, т.е.

2. Принимает на G наибольшее и наименьшее значение, т.е.

3. Принимает на G любое промежуточное значение между m и M, т.е. если

Определение элементарных функций нескольких переменных строятся как суперпозиция элементарных функций одной переменной с помощью конечного числа арифметических операций и композиции (возведение в степень).

Теорема о непрерывности элементарных функций.

Любая элементарная функция нескольких переменных непрерывна на области своего определения.

Свойства непрерывных функций на множестве.

1. Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций на множестве является непрерывная функция.

2. Частное непрерывных функций на множестве есть непрерывная функция (если функция, стоящая в знаменателе не обращается в ноль на этом множестве).

3. Основные функции нескольких переменных являются непрерывными всюду на своей области определения.

4. Все элементарные функции нескольких переменных непрерывны в своей области определения.

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 764; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!