Следствия из второго замечательного предела.
1. 
Док-во:
Ч.т.д.
2. 
Частный случай: 
3. 
Сравнение бесконечно малых.
Рассмотрим отношение двух б/м a(x) и b(x), т.е. a(x) и b(x) ®0 при x®x0.
Определение: Если 
, тогда б/м a(x) и b(x) называются б/м одного порядка малости.
Определение: Если 
, тогда б/м a(x) и b(x) называются эквивалентными.
Обозначаются: a(x)~ b(x).
Определение: Если 
, тогда б/м a(x) имеет порядок малости выше, чем б/м b(x).
Определение: Если 
, тогда б/м b(x) имеет порядок малости выше, чем б/м a(x).
Теорема: Если при x®x0 б/м a(x)~ a*(x), а б/м b(x)~ b*(x), то 
; 
.
Тогда при x®x0 и a(x) ‒ б/м справедливо:
sina(x)~ a(x); ea(x)-1~a(x); ln(1+a(x))~ a(x); aa(x)-1~a(x)·lna;
tga(x)~ a(x); arcsina(x)~ a(x); arctga(x)~ a(x); (1+a(x))a-1~a·a(x).
Непрерывность функции.
Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности.
Определение 1: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x 0, если она определена в этой точке и 
.
Dx=x-x0 – приращение аргумента, Dy=f(x)-f(x0)=f(x0+Dx)-f(x0) – приращение функции.
Определение 2: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x 0, если б/м приращению аргумента соответствует б/м приращение функции, т.е. 
.
Определение 3: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x 0, если она определена в этой точке, оба односторонних предела существуют, конечны, равны между собой и равны значению функции в этой точке, т.е. 
.
Определение: Функция y=f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Свойства непрерывных функций.
|
|
|
1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций являются непрерывной функцией.
Док-во:
Докажем непрерывность суммы непрерывных функций.
Пусть f(x) и φ(x) непрерывны.
По первому определению непрерывности: 
, 
.
Рассмотрим 
по первому определению сумма непрерывна в точке х0.
Непрерывность произведения и частного непрерывных функций доказывается аналогично.
Ч.т.д.
2. У непрерывной функции знак предела и знак функции можно менять местами.
Если f(x) ‒ непрерывная функция, то 
.
Док-во: По первому определению непрерывности
.
Ч.т.д.
3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения. y=xn, y=sin x, y=ex,…
Док-во:
а) y=const.
Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.
Тогда функция получит приращение:
.
, т.к. 
.
По второму определению непрерывности y=const непрерывна в своей области определения.
б) y=x.
Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.
.
По второму определению непрерывности:
.
y=x непрерывна в своей области определения.
в) y=sinx.
Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.
По второму определению непрерывности:
0 
cosx
|
|
|
как произведение б/м на ограниченную функцию. 
y=sinx непрерывна при 
.
Ч.т.д.
4. Пусть функция x=x(t) непрерывна в точке t0. Пусть функция y=y(x) непрерывна в точке x0, где x0=x(t0) . Тогда сложная функция y=y(x(t)) непрерывна в точке t0.
Док-во:
Тогда по первому определению сложная функция непрерывна в точке х0.
Ч.т.д.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 192; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!