Признаки монотонности функции.
Пусть функция 
определена и непрерывна на промежутке (a;b).
Определение: Функция 
называется неубывающей (невозрастающей) на (a;b), если для любых x1<x2, принадлежащих (a;b), выполняется 
( 
).
Определение: Функция называется возрастающей (убывающей) на (a;b), если для любых x1<x2, принадлежащих (a;b), выполняется 
( 
).
Теорема 1.
Для того чтобы функция 
, дифференцируемая на (a;b), была возрастающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке была неотрицательна, т.е. 
, и достаточно, чтобы 
.
Доказательство:
Необходимость.
Пусть f(x) возрастает на (a;b). Тогда для любых 
выполняется 
.
Þ 
Þ 
.
По определению производной: 
.
Достаточность.
Пусть 
на (a;b). f(x) дифференцируема на (a;b). Выберем на этом промежутке 2 точки х1; х2.
Тогда на (х1; х2) выполняется условие теоремы Лагранжа:
существует точка с Î(х1; х2) такая, что 
.
Þ 
(т.к. 
).
Þ 
. Þ 
возрастает на (a;b).
Ч.т.д.
Теорема 2.
Для того чтобы функция 
, дифференцируемая на (a;b), была убывающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке 
и достаточно, чтобы 
.
Доказательство проводится аналогично.
Пример: Найти интервалы возрастания и убывания функции 
.
.
.
Þ 
.
Экстремум функции.
Пусть функция 
определена в окрестности точки x0.
Определение: Точка x0 называется точкой строгого локального максимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство 
.
|
|
|
x0 — max.
Определение: Точка x0 называется точкой строгого локального минимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство 
.
x0 — min.
Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.
Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.
Если функция 
, дифференцируемая в точке x0, имеет в этой точке экстремум, то производная 
.
Доказательство:
Пусть для определенности точка x0 — max.
Тогда по определению существует такая ее окрестность 
, в которой выполняется неравенство 
< 
.
Т.о. на интервале 
в точке x0 функция принимает наибольшее значение 
.
Тогда по теореме Ферма: 
.
Аналогично доказывается для минимума функции.
Ч.т.д.
Однако, возможна ситуация, когда функция будет иметь экстремум в точке x0 в том случае, когда производная 
не существует.
Точки, в которых производная 
либо равна 0, либо не существует, называются критическими точками производной.
Замечание 1: Обратное утверждение не верно. Не всякая функция, производная которой в точке равна нулю или не существует, имеет в этой точке экстремум.
Замечание 2. Функция имеет экстремум только в критических точках.
Достаточное условие экстремума.
|
|
|
Пусть функция определена в критической точке x0 и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, за исключением, может быть, самой x0. Если «при переходе» через точку x0 слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума; с минуса на плюс – точка минимума.
Доказательство:
Пусть производная меняет знак с «+» на «-».
Тогда слева от х0, т.е. на (х0-δ,х0) 
.
| y |
| x |
| 0 |
| x0 |
| f(x0) |
| x0+d |
| x0-d |
возрастает.
Справа от х0, т.е. на (х0, х0+δ) 
.
Þ справа от х0 функция 
убывает.
Т.о. в окрестности точки х0 выполняется
неравенство 
.
х0 – точка локального максимума.
Аналогично доказывается для минимума.
Ч.т.д.
Пример: Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума.
а) 
.
1. Область определения функции D(y)=R.
2. 
.
Критические точки: 
. 
Þ 
, 
.
| x | (-∞;1) | x=1 | (1;3) | x=3 | (3;+∞) |
| + | 0 | – | 0 | + |
| возрастает | max
| убывает | min y(3)=1 | возрастает |
б) 
.
1. Область определения функции D(y): x¹-1.
2. 
;
.
Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ нет точек;
– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ 
.
| x | (-∞;-1) | x=-1 | (-1;+∞) |
|
| + | не существует | + |
| возрастает | не существует | возрастает |
Точек экстремума нет.
|
|
|
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 254; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!